mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Application directe du cours

Primitivation d'un DL

Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités · niveau 2

Énoncé

Retrouver le $DL_{5} (0)$ de $Arctan$ à partir de celui de sa dérivée, puis en déduire un équivalent de $Arctan x - x$ en $0$ .

Corrigé

La dérivée est $\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} + o (x^{4})$ (série géométrique en $- x^{2}$ ). On primitive terme à terme : $Arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} + o (x^{5}) .$ En particulier $Arctan x - x \sim - \frac{x ^{3}}{3}$ : la courbe traverse sa tangente en $0$ (point d'inflexion).

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