mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Exercice de TD

Problème — La suite implicite $x^{n} + x - 1 = 0$

Analyse asymptotique · F. Problèmes asymptotiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $n \geq 1$ , on considère l'équation $x^{n} + x - 1 = 0$ d'inconnue $x \in [0, 1]$ .

1) Montrer que cette équation admet une unique solution $x_{n}$ dans $[0, 1]$ , et que $x_{n} \in] 0, 1 [$ . Calculer $x_{1}$ et $x_{2}$ .

2) Montrer que la suite $(x_{n})$ est strictement croissante.

3) Montrer que $x_{n} \to 1$ .

4) On pose $y_{n} = 1 - x_{n}$ . Montrer que $(1 - y_{n})^{n} = y_{n}$ , puis que $n ln (1 - y_{n}) = ln y_{n}$ . En déduire que $n y_{n} \to + \infty$ et que $n y_{n} \sim - ln y_{n}$ .

5) En déduire $- ln y_{n} \sim ln n$ , puis $y_{n} \sim \frac{ln n}{n}$ . Conclure : $x_{n} = 1 - \frac{ln n}{n} + o (\frac{ln n}{n})$ .

6) Montrer que $n y_{n} = - ln y_{n} + o (1)$ , et en déduire le terme suivant : $x_{n} = 1 - \frac{ln n}{n} + \frac{ln ln n}{n} + o (\frac{1}{n})$ . Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé de la question 1

1) Existence, unicité, deux valeurs. Soit $f_{n} (x) = x^{n} + x - 1$ sur $[0, 1]$ . C'est une fonction continue, strictement croissante (somme de $x \mapsto x^{n}$ , croissante sur $[0, 1]$ , et de $x \mapsto x - 1$ , strictement croissante), avec $f_{n} (0) = - 1 < 0$ et $f_{n} (1) = 1 > 0$ . Par le théorème de la bijection, $f_{n}$ s'annule en un unique point $x_{n}$ de $[0, 1]$ , et comme $f_{n} (0) \neq = 0 \neq = f_{n} (1)$ , ce point est dans $] 0, 1 [$ .

Pour $n = 1$ : $2 x - 1 = 0$ , $x_{1} = \frac{1}{2}$ . Pour $n = 2$ : $x^{2} + x - 1 = 0$ , dont la racine positive est $x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} \approx 0, 618$ — l'inverse du nombre d'or.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Montrer que la suite $(x_{n})$ est strictement croissante.

Élève

Pour le 2), je voudrais comparer $x_{n}$ et $x_{n + 1}$ , mais ils sont définis par deux équations différentes et je n'ai pas de formule explicite. Étudier $x_{n + 1} - x_{n}$ ne mène nulle part.

Tu connais bien la fonction $f_{n + 1}$ : elle est strictement croissante et $x_{n + 1}$ est son unique zéro. Que suffit-il de connaître sur $f_{n + 1}$ en un point $t$ pour situer $t$ par rapport à $x_{n + 1}$ ?

Élève

Son signe : si $f_{n + 1} (t) < 0$ , alors $t < x_{n + 1}$ . Je pourrais prendre $t = x_{n}$ , mais $x_{n}^{n + 1} + x_{n} - 1$ n'a pas de signe évident.

Quelle information sur $x_{n}$ n'as-tu pas encore utilisée, et comment peut-elle transformer $x_{n}^{n + 1} + x_{n} - 1$ en un produit dont le signe se lit ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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Problème — La suite implicite xn+x−1=0

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Problème — La suite implicite $x^{n} + x - 1 = 0$