Le DL d'une réciproque, par identification

La stratégie. On ne calcule pas $f^{-1}$ — ce serait résoudre une équation du troisième degré. On postule la forme de son développement, que la parité réduit à trois inconnues, et on identifie dans l'identité $f\circ f^{-1}=\mathrm{id}$, dont le développement est connu : c'est $y$.

1) Existence, parité, régularité. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f^{\prime }(x)=1+3x^2>0$ : elle est continue et strictement croissante, de limites $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$. Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, et $f^{-1}$ est continue, strictement croissante.

Parité. $f$ est impaire. Pour $y\in \mathbb{R}$, posons $x=f^{-1}(y)$ ; alors $f(-x)=-f(x)=-y$, donc $f^{-1}(-y)=-x=-f^{-1}(y)$ : $f^{-1}$ est impaire, et en particulier $f^{-1}(0)=0$.

Régularité. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et $f^{\prime }$ ne s'annule pas : le théorème de dérivation de la réciproque (chapitre 6) donne $f^{-1}$ dérivable avec $(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$, et, en itérant, $f^{-1}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$. Par Taylor–Young, elle admet un développement limité en $0$ à tout ordre. C'est $f^{\prime }(0)=1\ne 0$ qui autorise tout ce qui suit : pour $f(x)=x^3$, la réciproque $y\mapsto y^{1/3}$ n'est pas dérivable en $0$, et l'identification n'aurait aucun sens.

2) L'identification. Par parité, $f^{-1}(y)=ay+b{y}^3+c{y}^5+o(y^5)$ — trois inconnues au lieu de six. Reportons dans $f(f^{-1}(y))=f^{-1}(y)+(f^{-1}(y){)}^3=y$. Le cube, à l'ordre $5$ : $$(ay+b{y}^3+c{y}^5{)}^3=a^3{y}^3+3a^{2}b{y}^5+o(y^5),$$ car les seuls produits de trois facteurs d'ordre total au plus $5$ sont $ay\cdot ay\cdot ay$ et les trois façons de prendre $ay\cdot ay\cdot b{y}^3$. Donc $$ay+(b+a^3)y^3+(c+3a^{2}b)y^5+o(y^5)=y.$$ Par unicité du développement limité, on identifie coefficient par coefficient : $a=1$ ; $b+a^3=0$, donc $b=-1$ ; $c+3a^{2}b=0$, donc $c=-3a^{2}b=3$. $$f^{-1}(y)=y-y^3+3y^5+o(y^5).$$ Contrôle numérique, en résolvant $t+t^3=y$ : pour $y=0,1$, $f^{-1}(y)=0,0990288524$, et $y-y^3+3y^5=0,0990300000$ ; l'écart, $-1,15\cdot 10^{-6}$, est bien en $y^7$ (le coefficient suivant est $-12$, et $-12\cdot 10^{-7}=-1,2\cdot 10^{-6}$).

3) Par réinjection. L'égalité $f(x)=y$ s'écrit $x=y-x^3$, où $x=f^{-1}(y)\to 0$ quand $y\to 0$ (continuité de $f^{-1}$ en $0$).

Premier cran. Comme $x\to 0$, $x^3=o(x)$, donc $x=y+o(x)$, ce qui donne $x\sim y$ (le reste $o(x)$ est aussi un $o(y)$ dès que $x\sim y$ — on le vérifie en écrivant $x(1+o(1))=y$).

Deuxième cran. Alors $x^3\sim y^3$, donc $x^3=y^3+o(y^3)$, et $x=y-y^3+o(y^3)$.

Troisième cran. On réinjecte ce développement dans $x^3$ : $$x^3=(y-y^3+o(y^3){)}^3=y^3-3y^5+o(y^5),$$ d'où $x=y-x^3=y-y^3+3y^5+o(y^5)$. Même résultat, et l'on voit que la réinjection produit un terme de plus à chaque tour : c'est la méthode des équations à paramètre, qui va servir aux exercices 8 et 10.

Ce que l'exercice installe. Inverser un développement limité est une identification, jamais un calcul de dérivées de $f^{-1}$ ; la parité divise le travail par deux ; et l'identité $f\circ f^{-1}=\mathrm{id}$, dont le développement est trivial, est ce qui rend l'identification possible. La réinjection en est la version itérative — l'outil général des développements asymptotiques.