Le DL d'une réciproque, par identification

La stratégie. On ne calcule pas $f^{-1}$ — ce serait résoudre une équation du troisième degré. On postule la forme de son développement, que la parité réduit à trois inconnues, et on identifie dans l'identité $f\circ f^{-1}=\mathrm{id}$, dont le développement est connu : c'est $y$.

1) Existence, parité, régularité. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f^{\prime }(x)=1+3x^2>0$ : elle est continue et strictement croissante, de limites $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$. Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, et $f^{-1}$ est continue, strictement croissante.

Parité. $f$ est impaire. Pour $y\in \mathbb{R}$, posons $x=f^{-1}(y)$ ; alors $f(-x)=-f(x)=-y$, donc $f^{-1}(-y)=-x=-f^{-1}(y)$ : $f^{-1}$ est impaire, et en particulier $f^{-1}(0)=0$.

Régularité. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et $f^{\prime }$ ne s'annule pas : le théorème de dérivation de la réciproque (chapitre 6) donne $f^{-1}$ dérivable avec $(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$, et, en itérant, $f^{-1}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$. Par Taylor–Young, elle admet un développement limité en $0$ à tout ordre. C'est $f^{\prime }(0)=1\ne 0$ qui autorise tout ce qui suit : pour $f(x)=x^3$, la réciproque $y\mapsto y^{1/3}$ n'est pas dérivable en $0$, et l'identification n'aurait aucun sens.