Montrer, par unicité du développement limité, que le DL en 0 d'une…

La stratégie. Tout repose sur l'unicité du développement limité : si une fonction admet deux écritures $\sum a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ et $\sum b_{k} x^{k} + o (x^{n})$ , alors $a_{k} = b_{k}$ pour tout $k$ . On fabrique une seconde écriture en remplaçant $x$ par $- x$ , et on identifie.

1) Le cas pair. Supposons que $f$ admette un $DL_{n} (0)$ : $f (x) = k = 0 \sum n a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ En remplaçant $x$ par $- x$ — licite car $∣ (- x)^{n} ∣ = ∣ x ∣^{n}$ , donc un $o (x^{n})$ reste un $o (x^{n})$ : $f (- x) = k = 0 \sum n (- 1)^{k} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ Si $f$ est paire, $f (- x) = f (x)$ : la fonction $f$ possède donc les deux développements ci-dessus.

⚠️ C'est exactement ici que l'unicité travaille. Sans elle, « deux écritures » ne prouverait rien. Avec elle : $a_{k} = (- 1)^{k} a_{k}$ pour tout $k$ , donc $2 a_{k} = 0$ dès que $k$ est impair, c'est-à-dire $a_{k} = 0 pour tout k impair.$

2) Le cas impair. Si $f (- x) = - f (x)$ , la même identification donne $(- 1)^{k} a_{k} = - a_{k}$ , donc $2 a_{k} = 0$ pour $k$ pair : seuls survivent les exposants impairs.

3) Application à $ch$ , sans calcul. La fonction $ch$ est paire, donc son $DL_{5} (0)$ est de la forme $ch x = a_{0} + a_{2} x^{2} + a_{4} x^{4} + o (x^{5})$ — on note qu'il n'y a rien à écrire en $x^{5}$ : la parité offre gratuitement un ordre de plus. Comme $ch (0) = 1$ et $ch^{''} = ch$ , la formule de Taylor-Young donne $a_{0} = 1$ , $a_{2} = \frac{1}{2}$ , $a_{4} = \frac{1}{24}$ : $ch x = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{5})$

4) Le cas de $x \mapsto x sin x$ . C'est un produit de deux fonctions impaires, donc une fonction paire : seules des puissances paires apparaîtront. Avec $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{4})$ : $x sin x = x^{2} - \frac{x ^{4}}{6} + o (x^{5})$ Le reste est bien un $o (x^{5})$ et non un $o (x^{4})$ : la parité interdit tout terme en $x^{5}$ , et le terme suivant est en $x^{6}$ (il vaut $\frac{x ^{6}}{120}$ ).

Contrôle numérique (comparaison de $x sin x$ à $x^{2} - \frac{x ^{4}}{6}$ ) :

$x$	$x sin x$	$x^{2} - x^{4} /6$	écart
$0, 3$	$0, 088656061998$	$0, 088650000000$	$6, 1 \cdot 1 0^{- 6}$
$0, 1$	$0, 009983341665$	$0, 009983333333$	$8, 3 \cdot 1 0^{- 9}$

L'écart est divisé par $\approx 730$ quand $x$ l'est par $3$ : il est en $x^{6}$ ( $3^{6} = 729$ ), conformément au terme $\frac{x ^{6}}{120}$ annoncé.

Ce que l'exercice installe. Avant tout calcul de $DL$ , on regarde la parité : elle supprime la moitié des coefficients à calculer et offre un ordre gratuit dans le reste. C'est l'argument qui rendra immédiate la forme du $DL$ d'une réciproque impaire à l'exercice 40.

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