Montrer, par unicité du développement limité, que le DL en 0 d'une…

La stratégie. Tout repose sur l'unicité du développement limité : si une fonction admet deux écritures $\sum a_k{x}^k+o(x^n)$ et $\sum b_k{x}^k+o(x^n)$, alors $a_k=b_k$ pour tout $k$. On fabrique une seconde écriture en remplaçant $x$ par $-x$, et on identifie.

1) Le cas pair. Supposons que $f$ admette un ${\mathrm{DL}}_n(0)$ : $$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)$$ En remplaçant $x$ par $-x$ — licite car $|(-x{)}^n|=|x{|}^n$, donc un $o(x^n)$ reste un $o(x^n)$ : $$f(-x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k{x}^k+o\left(x^n\right)$$ Si $f$ est paire, $f(-x)=f(x)$ : la fonction $f$ possède donc les deux développements ci-dessus.

⚠️ C'est exactement ici que l'unicité travaille. Sans elle, « deux écritures » ne prouverait rien. Avec elle : $a_k=(-1{)}^k{a}_k$ pour tout $k$, donc $2a_k=0$ dès que $k$ est impair, c'est-à-dire $$a_k=0\text{pour tout }k\text{ impair.}$$

2) Le cas impair. Si $f(-x)=-f(x)$, la même identification donne $(-1{)}^k{a}_k=-a_k$, donc $2a_k=0$ pour $k$ pair : seuls survivent les exposants impairs.

3) Application à $\mathrm{ch}$, sans calcul. La fonction $\mathrm{ch}$ est paire, donc son ${\mathrm{DL}}_5(0)$ est de la forme $$\mathrm{ch}x=a_0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+o\left(x^5\right)$$ — on note qu'il n'y a rien à écrire en $x^5$ : la parité offre gratuitement un ordre de plus. Comme $\mathrm{ch}(0)=1$ et ${\mathrm{ch}}^{\prime \prime }=\mathrm{ch}$, la formule de Taylor-Young donne $a_0=1$, $a_2=\frac{1}{2}$, $a_4=\frac{1}{24}$ : $$\mathrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)$$

4) Le cas de $x\mapsto x\sin x$. C'est un produit de deux fonctions impaires, donc une fonction paire : seules des puissances paires apparaîtront. Avec $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)$ : $$x\sin x=x^2-\frac{x^4}{6}+o\left(x^5\right)$$ Le reste est bien un $o(x^5)$ et non un $o(x^4)$ : la parité interdit tout terme en $x^5$, et le terme suivant est en $x^6$ (il vaut $\frac{x^6}{120}$).

Contrôle numérique (comparaison de $x\sin x$ à $x^2-\frac{x^4}{6}$) :

$x$	$x\sin x$	$x^2-x^4/6$	écart
$0,3$	$0,088656061998$	$0,088650000000$	$6,1\cdot 10^{-6}$
$0,1$	$0,009983341665$	$0,009983333333$	$8,3\cdot 10^{-9}$

L'écart est divisé par $\approx 730$ quand $x$ l'est par $3$ : il est en $x^6$ ($3^6=729$), conformément au terme $\frac{x^6}{120}$ annoncé.

Ce que l'exercice installe. Avant tout calcul de $\mathrm{DL}$, on regarde la parité : elle supprime la moitié des coefficients à calculer et offre un ordre gratuit dans le reste. C'est l'argument qui rendra immédiate la forme du $\mathrm{DL}$ d'une réciproque impaire à l'exercice 40.