Le $D{L}_5$ de $\tan$ par son équation différentielle

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Trois théorèmes du cours : la formule de Taylor–Young (une fonction ${\mathcal{C}}^n$ admet un ${\mathrm{DL}}_n$), la parité (le $\mathrm{DL}$ d'une fonction impaire n'a que des puissances impaires), la primitivation (si $F^{\prime }=f$ et $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_n$, alors $F$ admet le ${\mathrm{DL}}_{n+1}$ obtenu en primitivant terme à terme, la constante étant $F(0)$) — et l'unicité des coefficients, qui permet d'identifier.

1) Existence et forme. Sur $\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$, $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ est un quotient de fonctions ${\mathcal{C}}^{\infty }$ dont le dénominateur ne s'annule pas : $\tan$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$, donc admet par Taylor–Young un développement limité en $0$ à tout ordre. Elle est impaire ($\tan (-x)=-\tan x$), donc son développement ne contient que des puissances impaires : le coefficient de $x^0$, $x^2$, $x^4$, $x^6$ est nul. Enfin $\tan x\sim x$ donne le coefficient $1$ en $x$ (le premier terme non nul du $\mathrm{DL}$ est l'équivalent). D'où la forme annoncée : $$\tan x=x+a{x}^3+b{x}^5+o(x^6).$$ Remarquer le reste en $o(x^6)$ et non $o(x^5)$ : la parité offre un ordre gratuit, puisque le terme en $x^6$ est nul.