Une asymptote, et de quel côté

La stratégie. En $\pm \infty$, la variable qui tend vers $0$ est $u=\frac{1}{x}$ : un développement limité en $u=0$ devient, après multiplication par $x$, un développement asymptotique en $x$. Le terme constant et le terme en $x$ donnent l'asymptote ; le terme suivant, en $\frac{1}{x}$, donne la position — et son signe dépend du signe de $x$.

1) $f(x)=x{e}^{1/x}$. Posons $u=\frac{1}{x}$, qui tend vers $0$ quand $x\to +\infty$ comme quand $x\to -\infty$. Avec $e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)$ : $$f(x)=x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=x+1+\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$ Il fallait l'exponentielle à l'ordre $2$ : la multiplication par $x$ remonte tout d'un cran, et un ${\mathrm{DL}}_1$ n'aurait donné que $x+1+o(1)$ — l'asymptote, mais pas la position.

Asymptote. $f(x)-(x+1)=\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\to 0$ en $\pm \infty$ : la droite $y=x+1$ est asymptote des deux côtés.

Position. $f(x)-(x+1)\sim \frac{1}{2x}$, et un équivalent donne le signe : en $+\infty$, $\frac{1}{2x}>0$, la courbe est au-dessus ; en $-\infty$, $\frac{1}{2x}<0$, la courbe est en dessous. La même droite, deux positions. Contrôle : $f(10)-11=0,0517$ et $f(-10)-(-9)=-0,0484$, tous deux proches de $\pm \frac{1}{20}$.

2) $g(x)=x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$. La fonction est définie pour $x>0$ et pour $x<-1$ ; dans les deux cas $u=\frac{1}{x}\to 0$. Comme on multiplie par $x^2$, il faut le logarithme à l'ordre $3$ : $$\ln (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}+o(u^3),g(x)=x^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right)\right)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$ Asymptote : $y=x-\frac{1}{2}$, des deux côtés. Position : $g(x)-\left(x-\frac{1}{2}\right)\sim \frac{1}{3x}$, positif en $+\infty$ (courbe au-dessus), négatif en $-\infty$ (courbe en dessous). Contrôle : $g(100)-99,5=0,00331$, contre $\frac{1}{300}=0,00333$ ; $g(-100)-(-100,5)=-0,00336$.

Au passage, ce développement contient une limite classique : $x-x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\to \frac{1}{2}$ en $+\infty$. La forme indéterminée « $\infty -\infty$ » se lève par le développement, et le développement dit en plus par quel côté on arrive.

3) La méthode du chapitre 6, et ce qu'elle ne dit pas. Le chapitre 6 cherchait $a=\lim \frac{f(x)}{x}$ puis $b=\lim (f(x)-ax)$. Ici $\frac{f(x)}{x}=e^{1/x}\to 1$, donc $a=1$ ; puis $f(x)-x=x\left(e^{1/x}-1\right)=\frac{e^u-1}{u}\to 1$ (dérivée de l'exponentielle en $0$), donc $b=1$. On retrouve $y=x+1$.

Ce que cette méthode ne donne pas : le terme suivant. Elle dit que $f(x)-(x+1)\to 0$, pas que cette quantité vaut $\frac{1}{2x}$ à un $o\left(\frac{1}{x}\right)$ près — donc ni la position, ni la vitesse à laquelle la courbe rejoint sa droite. Pour $f$, on pourrait rattraper la position par un argument à part : l'inégalité de convexité $e^u\ge 1+u$ donne $f(x)-(x+1)=x\left(e^{1/x}-1-\frac{1}{x}\right)$, du signe de $x$. Mais c'est un argument ad hoc ; pour $g$, aucune inégalité classique ne dit le signe de $g(x)-x+\frac{1}{2}$. Le développement asymptotique, lui, le dit systématiquement, et dit combien.

Ce que l'exercice installe. Les branches infinies se traitent en $u=\frac{1}{x}$, avec un ordre de plus que la puissance de $x$ qui multiplie. Et la position par rapport à l'asymptote n'est pas une propriété globale de la courbe : elle est portée par le signe du terme en $\frac{1}{x}$, qui change avec le signe de $x$. Une courbe peut être au-dessus de son asymptote à droite et en dessous à gauche.