Calculer lim _x → 0 ( (sin x)/x )^1/x^2.

La stratégie. La base tend vers $1$, l'exposant vers $+\infty$ : c'est la forme indéterminée « $1^{\infty }$ ». On passe au logarithme, seul moyen de séparer une base variable d'un exposant variable.

1) L'écriture exponentielle. Pour $x$ voisin de $0$, $x\ne 0$, on a $\frac{\sin x}{x}>0$, donc la puissance est définie et $${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}=\exp \left(\frac{1}{x^2}\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)\right)$$

⚠️ « La base tend vers $1$, donc la limite vaut $1$ » est faux, et de façon spectaculaire. Trois bases qui tendent toutes vers $1$, trois limites différentes : $${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}\to e^{-1/6},(1+x{)}^{1/x^2}\to +\infty ,(1-x{)}^{1/x^2}\to 0$$ Tout dépend de la vitesse à laquelle la base approche $1$ — c'est-à-dire d'un développement limité.

2) Le développement de la base. De $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)$ on tire $$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o\left(x^2\right)$$

3) Le logarithme. Posons $u=-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 0$. Alors $\ln (1+u)=u+o(u)$, et comme $u\sim -\frac{x^2}{6}$, le reste $o(u)$ est un $o(x^2)$ : $$\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)=-\frac{x^2}{6}+o\left(x^2\right)$$

4) La conclusion. En divisant par $x^2$ : $$\frac{1}{x^2}\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)=-\frac{1}{6}+o(1)⟶-\frac{1}{6}$$ et par continuité de l'exponentielle : $$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}=e^{-1/6}\simeq 0,8464817}$$

Contrôle numérique.

Les décimales se fixent une à une : dix chiffres coïncident en $x=10^{-4}$. Le développement suivant, $\ln (\sin x/x)/x^2=-\frac{1}{6}-\frac{x^2}{180}+o(x^2)$, prédit un écart en $x^2$ — la table le confirme (écart divisé par $100$ à chaque décade).

Ce que l'exercice installe. Le réflexe automatique : base variable élevée à un exposant variable $\Rightarrow$ $\exp$ et $\ln$. Et la leçon de fond : une forme indéterminée n'est pas levée par des limites, elle est levée par des ordres.