$(1+x{)}^{1/x}$ et la lenteur de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$

La stratégie. Une puissance dont la base et l'exposant varient ne se développe pas telle quelle : c'est la forme indéterminée « $1^{\infty }$ ». On repasse par $e^{v\ln u}$, puis on compose deux développements limités — en prenant l'exposant à l'ordre voulu, car c'est lui qui commande.

1) Le développement. Pour $x$ voisin de $0$ et $x\ne 0$, on a $1+x>0$ et $$(1+x{)}^{1/x}=\exp \left(\frac{\ln (1+x)}{x}\right).$$ L'exposant, à l'ordre 2. La division par $x$ abaisse l'ordre d'un cran : il faut donc $\ln (1+x)$ à l'ordre $3$ : $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2).$$ La composition. On sort la constante $1$ de l'exponentielle et l'on pose $v=-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$, qui tend vers $0$ : $$(1+x{)}^{1/x}=e\cdot e^v,e^v=1+v+\frac{v^2}{2}+o(v^2).$$ Le point délicat est le reste. Écrire $o(v^2)=o(x^2)$ n'est licite que parce que $v\sim -\frac{x}{2}$, donc $v^2\sim \frac{x^2}{4}$ : une quantité négligeable devant $v^2$ l'est devant $x^2$. Ensuite $v^2=\frac{x^2}{4}+o(x^2)$, donc $\frac{v^2}{2}=\frac{x^2}{8}+o(x^2)$, et $$e^v=1-\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{8}\right)x^2+o(x^2)=1-\frac{x}{2}+\frac{11x^2}{24}+o(x^2),$$ puisque $\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{8+3}{24}=\frac{11}{24}$. Finalement $$(1+x{)}^{1/x}=e\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11x^2}{24}+o(x^2)\right).$$ Rien dans le calcul n'a supposé $x>0$ : le développement vaut des deux côtés de $0$, pourvu que $x>-1$. Contrôle numérique : en $x=0,01$, la fonction vaut $2,7048138$ et l'approximation $2,7048150$ ; en $x=-0,01$, $2,7319990$ contre $2,7319978$ ; l'écart est en $x^3$ dans les deux cas, ce qui honore le $o(x^2)$.

2) La suite. Composer un développement limité avec la suite $\frac{1}{n}\to 0$ est licite (c'est le cours). En $x=\frac{1}{n}$ : $${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e-\frac{e}{2n}+\frac{11e}{24n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Donc $n\left[{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n-e\right]=-\frac{e}{2}+\frac{11e}{24n}+o\left(\frac{1}{n}\right)⟶-\frac{e}{2}$.

Contrôle numérique, jusqu'au second terme : pour $n=10^4$, $n(u_n-e)=-1,35902$ et $-\frac{e}{2}=-1,35914$ ; et $n^2\left(u_n-e+\frac{e}{2n}\right)=1,24576$, contre $\frac{11e}{24}=1,24588$. Les deux constantes sont confirmées, pas seulement la première.

3) La vitesse. On lit directement $e-u_n\sim \frac{e}{2n}$ : l'erreur décroît comme $\frac{1}{n}$. Pour gagner une décimale, il faut multiplier $n$ par $10$ ; pour une erreur inférieure à $10^{-6}$, il faut $\frac{e}{2n}<10^{-6}$, soit $n>1359141$. C'est exactement la lenteur constatée numériquement au chapitre 6 — et elle est ici expliquée, par le terme $-\frac{e}{2n}$.

Comparaison. Au chapitre 6, une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ vers un point fixe attractif ($|f^{\prime }(\ell )|<1$) converge géométriquement : l'erreur est multipliée par un facteur $k<1$ à chaque étape, et $10^{-6}$ s'atteint en une vingtaine d'itérations pour $k=\frac{1}{2}$. La méthode de Newton converge quadratiquement : le nombre de décimales exactes double à chaque étape, cinq itérations suffisent. La suite ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ est incomparablement plus lente : elle n'est pas une méthode de calcul de $e$, elle en est une définition.

Ce que l'exercice installe. La forme « $1^{\infty }$ » passe par $e^{v\ln u}$, et composer par l'exponentielle exige l'exposant à l'ordre voulu — pas seulement sa limite. Et un développement asymptotique n'est pas un ornement : c'est la mesure de la vitesse de convergence. « $u_n\to e$ » ne permet pas de choisir $n$ ; « $e-u_n\sim \frac{e}{2n}$ » le permet.