Montrer que … et que ….

La stratégie. Deux équivalences, deux techniques : la première par encadrement (la partie entière n'a pas de développement, seulement un encadrement), la seconde par factorisation du terme prépondérant.

1) $\lfloor x\rfloor \sim x$ en $+\infty$.

La définition de la partie entière donne, pour tout réel $x$ : $$x-1<\lfloor x\rfloor \le x$$ ⚠️ On divise par $x$, et il faut savoir pourquoi c'est licite : au voisinage de $+\infty$ on a $x>0$, donc la division conserve le sens des inégalités (avec $x<0$ elles s'inverseraient) : $$1-\frac{1}{x}<\frac{\lfloor x\rfloor }{x}\le 1$$ Les deux bornes tendent vers $1$ quand $x\to +\infty$ ; par encadrement $\frac{\lfloor x\rfloor }{x}\to 1$, c'est-à-dire $\lfloor x\rfloor \sim x$.

Remarque qui prolonge l'exercice 13 : la différence $\lfloor x\rfloor -x$ ne tend pas vers $0$ — elle oscille dans $]-1,0]$ sans jamais se stabiliser. Voilà deux fonctions équivalentes dont la différence n'a même pas de limite.

2) $\sqrt{x+\sqrt{x}}\sim \sqrt{x}$ en $+\infty$.

Le terme prépondérant sous la racine est $x$, car $\sqrt{x}=o(x)$. On le factorise — légitime pour $x>0$ : $$\sqrt{x+\sqrt{x}}=\sqrt{x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}=\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$$ Comme $\frac{1}{\sqrt{x}}\to 0$ et que $u\mapsto \sqrt{1+u}$ est continue en $0$ de valeur $1$ : $$\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}⟶1$$

⚠️ Le piège est de factoriser « le plus grand terme » sans l'avoir identifié. Ici $x$ domine $\sqrt{x}$ ; si l'on avait factorisé $\sqrt{x}$ on aurait obtenu $\sqrt{\sqrt{x}}\sqrt{\sqrt{x}+1}$, exact mais inutilisable.

Là encore la différence n'est pas nulle : en poussant d'un cran, $\sqrt{1+u}=1+\frac{u}{2}+o(u)$ avec $u=1/\sqrt{x}$ donne $$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)⟶\frac{1}{2}$$

Contrôle numérique.

$x$	$\lfloor x\rfloor /x$	$\sqrt{x+\sqrt{x}}/\sqrt{x}$	$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}$
$10,5$	$0,952381$	$1,143943$	$0,46643$
$100,5$	$0,995025$	$1,048690$	$0,48812$
$10^4$	$1,000000$	$1,004988$	$0,49876$
$10^6$	$1,000000$	$1,000500$	$0,49988$

Les deux rapports tendent bien vers $1$ ; la dernière colonne confirme la limite $\frac{1}{2}$ annoncée, et non $0$.

Ce que l'exercice installe. Quand une fonction n'a pas de développement limité (partie entière, valeur absolue, $\max$), il reste l'encadrement ; quand elle en a un, il reste la factorisation du prépondérant. Ce sont les deux seules façons d'obtenir un équivalent.