mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Application directe du cours

Stirling et coefficients binomiaux

Analyse asymptotique · E. Suites · niveau 3 (difficile)

Énoncé

À l'aide de la formule de Stirling, déterminer un équivalent du coefficient binomial central $(n 2 n)$ .

Corrigé

$(n 2 n) = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} \sim \frac{4 π n ( \frac{2 n}{e} ) ^{2 n}}{2 π n ( \frac{n}{e} ) ^{2 n}} = \frac{4 ^{n}}{π n} .$ (Interprétation : parmi les $4^{n}$ chemins de $2 n$ pas, une proportion $\frac{1}{π n}$ revient à l'équilibre — au cœur du théorème central limite.)

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