Espaces vectoriels et applications linéaires

Cours complet · mathématiques MPSI, chapitre 12 · MPSI (classe préparatoire scientifique)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>12.1 Introduction et motivation

Depuis le début de l'année, la même structure revient sous des habits différents : « solution générale $=$ solution particulière $+$ solutions de l'équation homogène » pour les systèmes linéaires, les équations différentielles, les suites arithmético-géométriques, les polynômes interpolateurs. Ce chapitre dévoile enfin le concept unificateur : la linéarité. Les objectifs sont les suivants :

acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l'indépendance linéaire ;
reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l'aide des notions d'espace vectoriel et d'application linéaire ;
définir la dimension, qui compte les degrés de liberté d'un problème linéaire — en insistant sur les deux représentations d'un sous-espace : paramétrisation linéaire et description par équations linéaires ;
présenter quelques notions de géométrie affine pour interpréter géométriquement les situations rencontrées.

En petite dimension, l'intuition géométrique guide tout : on en tirera parti par de nombreuses figures. Le corps $K$ est $R$ ou $C$ ; tout développement théorique sur la dimension infinie est hors programme.

12.2 Espaces vectoriels

12.2.1 Structure d'espace vectoriel

Définition 12.1

K

-espace vectoriel

Un $K$ -espace vectoriel est un ensemble $E$ muni d'une addition et d'une multiplication par les scalaires de $K$ , telles que :

$(E, +)$ est un groupe abélien (chapitre 8), de neutre le vecteur nul $0_{E}$ ;
pour tous $λ, μ \in K$ et $x, y \in E$ :

$λ (x + y) = λ x + λ y, (λ + μ) x = λ x + μx, λ (μx) = (λ μ) x, 1 \cdot x = x .$

Les éléments de $E$ sont les vecteurs, ceux de $K$ les scalaires. Règles immédiates : $0 \cdot x = 0_{E}$ , $λ \cdot 0_{E} = 0_{E}$ , $(- 1) x = - x$ , et $λ x = 0_{E} ⟺ λ = 0$ ou $x = 0_{E}$ .

Exemple 12.2Les espaces vectoriels usuels

$K^{n}$ : les $n$ -uplets, opérations composante par composante — le modèle de tous les autres ;
$K [X]$ et $M_{n, p} (K)$ : les opérations des chapitres 9 et 10 en font des $K$ -espaces vectoriels ;
le produit $E_{1} \times \dots \times E_{p}$ d'espaces vectoriels (opérations composante par composante) ;
$K^{Ω}$ , l'espace des fonctions d'un ensemble $Ω$ dans $K$ (ou dans un espace vectoriel $F$ ), avec les opérations point par point — cas particulier fondamental : $K^{N}$ , l'espace des suites.

Définition 12.3Combinaisons linéaires

Une combinaison linéaire d'une famille finie $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de vecteurs de $E$ est un vecteur de la forme

$λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + \dots + λ_{n} x_{n}, λ_{i} \in K .$

Pour une famille quelconque $(x_{i})_{i \in I}$ , on utilise une famille de scalaires $(λ_{i})_{i \in I}$ presque nulle (ou à support fini : tous les $λ_{i}$ sont nuls sauf un nombre fini), et l'on pose $\sum_{i \in I} λ_{i} x_{i}$ (somme finie en réalité).

12.2.2 Sous-espaces vectoriels

Définition 12.4Sous-espace vectoriel

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel (s.e.v.) si $F$ contient $0_{E}$ et est stable par combinaisons linéaires. Caractérisation :

$F s.e.v. de E ⟺ 0_{E} \in F et \forall x, y \in F, \forall λ \in K, λ x + y \in F .$

Un sous-espace est lui-même un espace vectoriel (structure héritée — comparer aux sous-groupes du chapitre 8).

Exemple 12.5

Le sous-espace nul ${0_{E}}$ et $E$ tout entier ; une droite vectorielle $K u = {λ u : λ \in K}$ ( $u \neq = 0$ ) ;
un plan vectoriel de $R^{3}$ , par exemple ${(x, y, z) : x + y + z = 0}$ ;
$K_{n} [X]$ est un sous-espace de $K [X]$ ; les fonctions continues, les suites bornées… ;
l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène $A X = 0$ est un sous-espace de $K^{p}$ (chapitre 9) ;
contre-exemples : ${(x, y) : x y = 0}$ (pas stable par somme), ${(x, y) : x + y = 1}$ (ne contient pas $0$ ).

Proposition 12.6Intersection

L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel. (La réunion, en général, non — comme pour les sous-groupes !)

Définition 12.7Sous-espace engendré

Soit $A$ une partie de $E$ . Le sous-espace engendré par $A$ , noté $Vect (A)$ (ou $Vect (x_{i})_{i \in I}$ pour une famille), est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de $A$ . C'est le plus petit sous-espace contenant $A$ : tout sous-espace contenant $A$ contient $Vect (A)$ .

12.3 Familles de vecteurs

Définition 12.8Famille génératrice, famille libre, base

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille de vecteurs de $E$ .

Elle est génératrice (de $E$ ) si $Vect (x_{i})_{i \in I} = E$ : tout vecteur est combinaison linéaire des $x_{i}$ .
Elle est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale :

$i \sum λ_{i} x_{i} = 0 ⟹ \forall i, λ_{i} = 0$

(les $x_{i}$ sont linéairement indépendants) ; sinon elle est liée : l'un des vecteurs est combinaison des autres.

Une base est une famille à la fois libre et génératrice.

◆Théorème 12.9Coordonnées dans une base

$(e_{i})_{i \in I}$ est une base de $E$ si et seulement si tout vecteur $x \in E$ s'écrit de manière unique :

$x = i \in I \sum λ_{i} e_{i} (famille presque nulle) :$

les $λ_{i}$ sont les coordonnées de $x$ dans la base. (Génératrice = existence de l'écriture ; libre = unicité.)

Exemple 12.10Bases canoniques

$K^{n}$ : $(e_{1}, \dots, e_{n})$ avec $e_{i} = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ en position $i$ ) ;
$M_{n, p} (K)$ : les matrices élémentaires $(E_{i, j})$ (chapitre 9 : $A = \sum a_{i, j} E_{i, j}$ , écriture unique) ;
$K_{n} [X]$ : $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ ; $K [X]$ : $(X^{k})_{k \in N}$ (famille infinie, sommes presque nulles).

Proposition 12.11Deux outils de liberté

Ajout d'un vecteur : si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est libre, alors $(x_{1}, \dots, x_{n}, y)$ est libre si et seulement si $y \in / Vect (x_{1}, \dots, x_{n})$ .
Degrés échelonnés : une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. En particulier, toute famille $(P_{0}, \dots, P_{n})$ avec $de g P_{k} = k$ est une base de $K_{n} [X]$ .

Démonstration (Démonstration pour les degrés échelonnés)

Supposons $\sum λ_{k} P_{k} = 0$ avec les $λ_{k}$ non tous nuls, et soit $j$ le plus grand indice tel que $λ_{j} \neq = 0$ : le membre de gauche a alors pour degré $de g P_{j} \geq 0$ (le terme dominant de $λ_{j} P_{j}$ ne peut être compensé, les autres degrés étant distincts et l'écriture échelonnée) — contradiction avec $de g 0 = - \infty$ . Pour la base de $K_{n} [X]$ : famille libre de $n + 1$ vecteurs, génératrice par récurrence descendante sur le degré.

Exemple 12.12

$(1, (X - a), (X - a)^{2}, \dots, (X - a)^{n})$ est une base de $K_{n} [X]$ , et les coordonnées de $P$ y sont les $\frac{P ^{(k)} ( a )}{k !}$ : c'est la formule de Taylor du chapitre 10, relue comme un changement de base !

12.4 Somme de deux sous-espaces

Définition 12.13Somme, somme directe, supplémentaires

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de $E$ .

La somme $F + G = {f + g : f \in F, g \in G}$ est un sous-espace (c'est $Vect (F \cup G)$ ).
La somme est directe, notée $F \oplus G$ , si la décomposition de tout vecteur de $F + G$ en $f + g$ est unique.
$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F \oplus G$ : tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en $f + g$ .

◆Théorème 12.14Caractérisation par l'intersection

La somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = {0}$ .

Démonstration

Si la somme est directe et $x \in F \cap G$ : $x = x + 0 = 0 + x$ sont deux décompositions, donc $x = 0$ . Réciproquement, si $F \cap G = {0}$ et $f + g = f^{'} + g^{'}$ , alors $f - f^{'} = g^{'} - g \in F \cap G = {0}$ : $f = f^{'}$ et $g = g^{'}$ .

12.5 Espaces de dimension finie

12.5.1 Existence de bases

Définition 12.15

$E$ est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.

◆Théorème 12.16Extraction et complétion

Soit $E \neq = {0}$ de dimension finie.

Théorème de la base extraite : de toute famille génératrice finie, on peut extraire une base. Plus précisément, si $(x_{i})_{1 \leq i \leq n}$ engendre $E$ et si $(x_{i})_{i \in I}$ est libre pour une partie $I$ de ${1, \dots, n}$ , il existe $J \supseteq I$ telle que $(x_{j})_{j \in J}$ soit une base de $E$ .
Théorème de la base incomplète : toute famille libre de $E$ peut être complétée en une base (en piochant les vecteurs manquants dans une famille génératrice).

En particulier, tout espace de dimension finie possède des bases.

Démonstration (Principe de la démonstration)

On part de la famille libre $(x_{i})_{i \in I}$ et on parcourt les générateurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ : on ajoute $x_{j}$ à la famille s'il n'est pas déjà dans le $Vect$ de la famille courante (l'ajout préserve la liberté). À la fin, la famille obtenue est libre et son $Vect$ contient tous les $x_{j}$ , donc vaut $E$ : c'est une base.

12.5.2 Dimension

◆Théorème 12.17Le lemme fondamental et la dimension

Dans un espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n + 1$ vecteurs est liée. En conséquence, toutes les bases d'un espace $E$ de dimension finie ont le même nombre d'éléments, appelé dimension de $E$ et noté $dim E$ (avec $dim {0} = 0$ ).

Exemple 12.18Dimensions de référence

$dim K^{n} = n, dim K_{n} [X] = n + 1,$

$dim M_{n, p} (K) = n p, dim (E \times F) = dim E + dim F .$

Et trois espaces de solutions étudiés au premier semestre, relus en termes de dimension :

solutions de l'EDL homogène $y^{'} + a (x) y = 0$ : droite vectorielle $Vect (e^{- A})$ , dimension 1 ;
solutions de l'EDL2 homogène à coefficients constants : dimension 2 (base $(e^{r_{1} x}, e^{r_{2} x})$ ou $(e^{r x}, x e^{r x})$ ) ;
suites vérifiant $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ : dimension 2 (l'application $(u_{n}) \mapsto (u_{0}, u_{1})$ est un isomorphisme sur $K^{2}$ ).

« Dimension » $=$ nombre de degrés de liberté : le nombre de constantes qu'il faut fixer.

◆Théorème 12.19Caractérisation des bases en dimension

n

Si $dim E = n$ , pour une famille $F$ de exactement $n$ vecteurs, il y a équivalence entre : $F$ libre, $F$ génératrice, $F$ base. (Avec le bon compte, une seule vérification suffit !)

Définition 12.20Rang d'une famille

Le rang d'une famille finie de vecteurs est $rg (x_{1}, \dots, x_{n}) = dim Vect (x_{1}, \dots, x_{n})$ : le nombre maximal de vecteurs libres qu'on peut en extraire.

12.5.3 Sous-espaces et dimension

◆Théorème 12.21Dimension des sous-espaces

Soit $E$ de dimension finie et $F$ un sous-espace de $E$ .

$F$ est de dimension finie et $dim F \leq dim E$ , avec égalité si et seulement si $F = E$ .
Formule de Grassmann : pour deux sous-espaces $F, G$ de $E$ :

$dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G) .$

Tout sous-espace $F$ possède un supplémentaire, et :

$E = F \oplus G ⟺ F \cap G = {0} et dim F + dim G = dim E .$

iRemarque

La formule de Grassmann est l'analogue vectoriel de $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ . Exemple d'application : deux plans distincts de $R^{3}$ se coupent toujours selon une droite ( $dim (F \cap G) = 2 + 2 - dim (F + G) \geq 4 - 3 = 1$ ).

Définition 12.22Base adaptée

Si $E = F \oplus G$ , une base adaptée à la décomposition s'obtient en concaténant une base de $F$ et une base de $G$ ; de même, une base de $E$ est adaptée à $F$ si ses $dim F$ premiers vecteurs forment une base de $F$ .

12.6 Applications linéaires

12.6.1 Généralités

Définition 12.23Application linéaire

Soient $E, F$ deux $K$ -espaces vectoriels. Une application $u : E \to F$ est linéaire si :

$\forall x, y \in E, \forall λ \in K, u (x + y) = u (x) + u (y) et u (λ x) = λ u (x)$

(de façon équivalente : $u (λ x + y) = λ u (x) + u (y)$ ). On note $L (E, F)$ leur ensemble, $L (E) = L (E, E)$ (les endomorphismes). Un isomorphisme est une application linéaire bijective ; sa réciproque est automatiquement linéaire.

Exemple 12.24

$X \mapsto A X$ de $K^{p}$ dans $K^{n}$ , pour $A \in M_{n, p} (K)$ — l'exemple central, développé au chapitre suivant ;
la dérivation $P \mapsto P^{'}$ sur $K [X]$ , l'évaluation $P \mapsto P (a)$ , l'intégrale $f \mapsto \int_{0}^{1} f$ ;
les homothéties $x \mapsto λ x$ ; mais pas $x \mapsto x + a$ ( $a \neq = 0$ ) ni $x \mapsto x^{2}$ (l'image de $0$ doit être $0$ !).

Proposition 12.25Opérations

$L (E, F)$ est un espace vectoriel (combinaison linéaire d'applications linéaires) ; la composée de deux applications linéaires est linéaire, et la composition est bilinéaire : $(λ u + v) \circ w = λ u \circ w + v \circ w$ et $w \circ (λ u + v) = λ w \circ u + w \circ v$ .

◆Théorème 12.26Noyau et image

Soit $u \in L (E, F)$ .

L'image directe d'un sous-espace de $E$ et l'image réciproque d'un sous-espace de $F$ sont des sous-espaces. En particulier :

$Im u = u (E) (s.e.v. de F),$

$Ker u = u^{- 1} ({0}) = {x \in E : u (x) = 0} (s.e.v. de E) .$

$u$ est injective si et seulement si $Ker u = {0}$ (comme pour les morphismes de groupes !) ; $u$ est surjective si et seulement si $Im u = F$ .
Si $(x_{i})_{i \in I}$ engendre $E$ , alors $Im u = Vect (u (x_{i}))_{i \in I}$ .

Définition 12.27Rang d'une application linéaire

$u$ est de rang fini si $Im u$ est de dimension finie ; on pose alors $rg (u) = dim Im u$ . Propriétés : $rg (v \circ u) \leq min (rg u, rg v)$ , et le rang est invariant par composition par un isomorphisme (à gauche ou à droite).

12.6.2 Endomorphismes : projecteurs et symétries

Proposition 12.28L'anneau

L (E)

$(L (E), +, \circ)$ est un anneau, d'unité l'identité $id_{E}$ , non commutatif dès que $dim E \geq 2$ . On note $v u = v \circ u$ et $u^{k} = u \circ \dots \circ u$ . Les endomorphismes bijectifs (automorphismes) forment le groupe des inversibles : le groupe linéaire $GL (E)$ (et $u^{k}$ a alors un sens pour $k \in Z$ ). Les homothéties $λ id$ commutent avec tout.

Définition 12.29Projecteurs et symétries (définition géométrique)

Soit $E = F \oplus G$ : tout $x$ s'écrit uniquement $x = x_{F} + x_{G}$ .

Le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ est $p : x \mapsto x_{F}$ . On a $Im p = F = Ker (id - p)$ et $Ker p = G$ .
La symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $s : x \mapsto x_{F} - x_{G}$ . On a $s = 2 p - id$ .

◆Théorème 12.30Caractérisations algébriques

$p \in L (E)$ est un projecteur (sur $Im p$ , parallèlement à $Ker p$ ) si et seulement si $p^{2} = p$ ; on a alors $E = Im p \oplus Ker p$ .
$s \in L (E)$ est une symétrie si et seulement si $s^{2} = id$ ; alors $E = Ker (s - id) \oplus Ker (s + id)$ (vecteurs invariants $\oplus$ vecteurs changés en leur opposé).

Démonstration (Démonstration pour les projecteurs)

Si $p$ projette sur $F$ parallèlement à $G$ : $p (x) = x_{F} \in F$ se décompose en $x_{F} + 0$ , donc $p (p (x)) = x_{F} = p (x)$ . Réciproquement, si $p^{2} = p$ : tout $x$ s'écrit $x = p (x) + (x - p (x))$ avec $p (x) \in Im p$ et $p (x - p (x)) = p (x) - p^{2} (x) = 0$ ; et si $y \in Im p \cap Ker p$ , alors $y = p (z)$ et $0 = p (y) = p^{2} (z) = p (z) = y$ . Donc $E = Im p \oplus Ker p$ , et $p$ est bien la projection associée.

12.6.3 Détermination d'une application linéaire

◆Théorème 12.31Une application linéaire est déterminée par l'image d'une base

Soient $(e_{i})_{i \in I}$ une base de $E$ et $(f_{i})_{i \in I}$ une famille quelconque de vecteurs de $F$ . Il existe une unique application linéaire $u \in L (E, F)$ telle que $u (e_{i}) = f_{i}$ pour tout $i$ . De plus :

$u injective ⟺ (f_{i}) libre, u surjective ⟺ (f_{i}) g e ˊ n e ˊ ratrice,$

$u bijective ⟺ (f_{i}) base .$

Démonstration (Idée)

Nécessairement $u (\sum λ_{i} e_{i}) = \sum λ_{i} f_{i}$ : l'unicité de la décomposition dans la base rend cette formule bien définie, et elle est linéaire. Les caractérisations s'en déduisent en traduisant noyau et image.

◆Théorème 12.32Isomorphismes et dimension

Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension ; en particulier, tout espace de dimension $n$ est isomorphe à $K^{n}$ (choisir une base $=$ prendre les coordonnées).
Si $dim E = dim F < \infty$ et $u \in L (E, F)$ , alors :

$u injective ⟺ u surjective ⟺ u bijective .$

Un endomorphisme d'un espace de dimension finie inversible à gauche ou à droite est inversible.
$dim L (E, F) = dim E \times dim F$ .

Attention

L'équivalence injective $⟺$ surjective exige la dimension finie : sur $K [X]$ , la dérivation est surjective mais pas injective, et $P \mapsto X P$ est injective mais pas surjective.

Proposition 12.33Recollement sur une somme directe

Si $E = E_{1} \oplus E_{2}$ et $u_{1} \in L (E_{1}, F)$ , $u_{2} \in L (E_{2}, F)$ , il existe une unique $u \in L (E, F)$ coïncidant avec $u_{1}$ sur $E_{1}$ et $u_{2}$ sur $E_{2}$ (poser $u (x_{1} + x_{2}) = u_{1} (x_{1}) + u_{2} (x_{2})$ ).

12.6.4 Le théorème du rang

◆Théorème 12.34Théorème du rang

Soit $u \in L (E, F)$ avec $E$ de dimension finie.

Forme géométrique : si $S$ est un supplémentaire de $Ker u$ dans $E$ , alors $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $Im u$ .
Forme numérique :

$dim E = dim Ker u + rg (u) .$

Démonstration

Soit $u : S \to Im u$ la restriction de $u$ . Injective : si $x \in S$ et $u (x) = 0$ , alors $x \in S \cap Ker u = {0}$ . Surjective : tout $y \in Im u$ s'écrit $y = u (x)$ avec $x = k + s$ ( $k \in Ker u$ , $s \in S$ ), d'où $y = u (s) = u (s)$ . Donc $u$ est un isomorphisme, et $rg u = dim S = dim E - dim Ker u$ .

iRemarque

Lecture en degrés de liberté : sur les $dim E$ degrés de liberté de départ, $dim Ker u$ sont « écrasés » par $u$ , les $rg u$ restants survivent dans l'image. C'est l'outil de calcul de dimensions — souvent combiné avec : $u$ injective $⟺ rg u = dim E$ , $u$ surjective $⟺ rg u = dim F$ .

12.7 Formes linéaires et hyperplans

Définition 12.35Formes linéaires

Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire $φ : E \to K$ . Exemples : les formes coordonnées $e_{i}^{*} : x \mapsto x_{i}$ (la $i$ -ième coordonnée dans une base donnée), $P \mapsto P (a)$ , $f \mapsto \int_{0}^{1} f$ . Toute forme linéaire en dimension finie s'écrit $φ (x) = a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n}$ dans une base.

Définition 12.36Hyperplan

Un hyperplan de $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle : $H = Ker φ = {x : φ (x) = 0}$ . En dimension finie, l'égalité $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0$ (coefficients non tous nuls) est une équation de $H$ dans la base.

◆Théorème 12.37Hyperplans et droites

Si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$ , alors $E = H \oplus D$ ; réciproquement, tout supplémentaire d'une droite est un hyperplan.
En dimension $n$ : les hyperplans sont exactement les sous-espaces de dimension $n - 1$ .
Deux équations d'un même hyperplan sont proportionnelles (les formes linéaires de même noyau sont colinéaires).
L'intersection de $m$ hyperplans de $E$ ( $dim E = n$ ) est de dimension au moins $n - m$ ; réciproquement, tout sous-espace de dimension $n - m$ est l'intersection de $m$ hyperplans.

ImportantLes deux représentations d'un sous-espace

Un sous-espace $F$ de dimension $d$ dans $E$ de dimension $n$ se décrit de deux façons duales :

paramétrisation : $F = Vect (v_{1}, \dots, v_{d})$ , soit $d$ paramètres — adapté pour produire des vecteurs de $F$ ;
équations : $F$ = intersection de $n - d$ hyperplans (système linéaire homogène) — adapté pour tester l'appartenance.

Exemples dans $R^{3}$ : une droite $= Vect (u)$ ( $1$ paramètre) $=$ deux équations ; un plan $= Vect (u, v)$ ( $2$ paramètres) $=$ une équation. Passer d'une représentation à l'autre, c'est résoudre un système (chapitre 9) : éliminer les paramètres, ou résoudre les équations.

12.8 Sous-espaces affines

Définition 12.38Structure affine : points, vecteurs, translations

Dans un espace vectoriel $E$ , on peut voir les éléments comme des points ou comme des vecteurs : l'écriture $B = A + u$ équivaut à $A B = u = B - A$ . La translation de vecteur $u$ est l'application $A \mapsto A + u$ (non linéaire si $u \neq = 0$ !).

Définition 12.39Sous-espace affine

Un sous-espace affine de $E$ est une partie de la forme

$F = A + F = {A + u : u \in F},$

où $A \in E$ est un point et $F$ un sous-espace vectoriel, appelé la direction de $F$ (unique ; $A$ peut être remplacé par n'importe quel point de $F$ ). Un hyperplan affine est un sous-espace affine dirigé par un hyperplan. Dans $R^{2}$ : points, droites, $R^{2}$ ; dans $R^{3}$ : points, droites, plans, $R^{3}$ — les droites et plans ne passant plus nécessairement par l'origine.

Proposition 12.40Intersection

L'intersection de deux sous-espaces affines est soit vide (deux droites parallèles distinctes !), soit un sous-espace affine dirigé par l'intersection des directions.

◆Théorème 12.41Équations linéaires : le théorème unificateur

Soient $u \in L (E, F)$ et $a \in F$ . L'ensemble des solutions de l'équation linéaire

$u (x) = a$

est : soit vide (si $a \in / Im u$ ), soit le sous-espace affine $x_{0} + Ker u$ , où $x_{0}$ est une solution particulière.

Démonstration

Si $x_{0}$ est solution : $u (x) = a ⟺ u (x) - u (x_{0}) = 0 ⟺ u (x - x_{0}) = 0 ⟺ x \in x_{0} + Ker u$ .

ImportantLe grand retour : toutes les structures « particulière + homogène »

Le théorème précédent unifie d'un coup toutes les situations rencontrées cette année :

Problème	Application $u$	Solutions de $u (x) = a$
Système linéaire (ch. 9)	$X \mapsto A X$	$X_{0} + {A X = 0}$
EDL1 (ch. 4)	$y \mapsto y^{'} + a (x) y$	$y_{p} + Vect (e^{- A})$ : droite affine
EDL2 (ch. 4)	$y \mapsto y^{''} + a y^{'} + b y$	$y_{p} +$ plan de dimension $2$
Suites arithm.-géom. (ch. 5)	$(u_{n}) \mapsto (u_{n + 1} - a u_{n})$	particulière $+$ géométriques
Interpolation (ch. 10)	$Q \mapsto (Q (x_{i}))_{i}$	$P + \prod (X - x_{i}) K [X]$

Reconnaître un problème linéaire, c'est gagner d'avance la structure de ses solutions.

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