Espaces vectoriels et applications linéaires

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 12 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un sous-espace vectoriel : le plan engendré par u et v contient aussi leur somme u + v.

12.1 Introduction et motivation

Depuis le début de l'année, la même structure revient sous des habits différents : « solution générale $=$ solution particulière $+$ solutions de l'équation homogène » pour les systèmes linéaires, les équations différentielles, les suites arithmético-géométriques, les polynômes interpolateurs. Ce chapitre dévoile enfin le concept unificateur : la linéarité. Les objectifs sont les suivants :

acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l'indépendance linéaire ;
reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l'aide des notions d'espace vectoriel et d'application linéaire ;
définir la dimension, qui compte les degrés de liberté d'un problème linéaire — en insistant sur les deux représentations d'un sous-espace : paramétrisation linéaire et description par équations linéaires ;
présenter quelques notions de géométrie affine pour interpréter géométriquement les situations rencontrées.

En petite dimension, l'intuition géométrique guide tout : on en tirera parti par de nombreuses figures. Le corps $K$ est $R$ ou $C$ ; tout développement théorique sur la dimension infinie est hors programme.

12.2 Espaces vectoriels

12.2.1 Structure d'espace vectoriel

Définition 12.1

K

-espace vectoriel

Un $K$ -espace vectoriel est un ensemble $E$ muni d'une addition et d'une multiplication par les scalaires de $K$ , telles que :

$(E, +)$ est un groupe abélien (chapitre 8), de neutre le vecteur nul $0_{E}$ ;
pour tous $λ, μ \in K$ et $x, y \in E$ :

$λ (x + y) = λ x + λ y, (λ + μ) x = λ x + μx, λ (μx) = (λ μ) x, 1 \cdot x = x .$

Les éléments de $E$ sont les vecteurs, ceux de $K$ les scalaires. Règles immédiates : $0 \cdot x = 0_{E}$ , $λ \cdot 0_{E} = 0_{E}$ , $(- 1) x = - x$ , et $λ x = 0_{E} ⟺ λ = 0$ ou $x = 0_{E}$ .

Exemple 12.2Les espaces vectoriels usuels

$K^{n}$ : les $n$ -uplets, opérations composante par composante — le modèle de tous les autres ;
$K [X]$ et $M_{n, p} (K)$ : les opérations des chapitres 9 et 10 en font des $K$ -espaces vectoriels ;
le produit $E_{1} \times \dots \times E_{p}$ d'espaces vectoriels (opérations composante par composante) ;
$K^{Ω}$ , l'espace des fonctions d'un ensemble $Ω$ dans $K$ (ou dans un espace vectoriel $F$ ), avec les opérations point par point — cas particulier fondamental : $K^{N}$ , l'espace des suites.

Définition 12.3Combinaisons linéaires

Une combinaison linéaire d'une famille finie $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de vecteurs de $E$ est un vecteur de la forme

$λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + \dots + λ_{n} x_{n}, λ_{i} \in K .$

Pour une famille quelconque $(x_{i})_{i \in I}$ , on utilise une famille de scalaires $(λ_{i})_{i \in I}$ presque nulle (ou à support fini : tous les $λ_{i}$ sont nuls sauf un nombre fini), et l'on pose $\sum_{i \in I} λ_{i} x_{i}$ (somme finie en réalité).

12.2.2 Sous-espaces vectoriels

Définition 12.4Sous-espace vectoriel

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel (s.e.v.) si $F$ contient $0_{E}$ et est stable par combinaisons linéaires. Caractérisation :

$F s.e.v. de E ⟺ 0_{E} \in F et \forall x, y \in F, \forall λ \in K, λ x + y \in F .$

Un sous-espace est lui-même un espace vectoriel (structure héritée — comparer aux sous-groupes du chapitre 8).

Exemple 12.5

Le sous-espace nul ${0_{E}}$ et $E$ tout entier ; une droite vectorielle $K u = {λ u : λ \in K}$ ( $u \neq = 0$ ) ;
un plan vectoriel de $R^{3}$ , par exemple ${(x, y, z) : x + y + z = 0}$ ;
$K_{n} [X]$ est un sous-espace de $K [X]$ ; les fonctions continues, les suites bornées… ;
l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène $A X = 0$ est un sous-espace de $K^{p}$ (chapitre 9) ;
contre-exemples : ${(x, y) : x y = 0}$ (pas stable par somme), ${(x, y) : x + y = 1}$ (ne contient pas $0$ ).

Proposition 12.6Intersection

L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel. (La réunion, en général, non — comme pour les sous-groupes !)

Définition 12.7Sous-espace engendré

Soit $A$ une partie de $E$ . Le sous-espace engendré par $A$ , noté $Vect (A)$ (ou $Vect (x_{i})_{i \in I}$ pour une famille), est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de $A$ . C'est le plus petit sous-espace contenant $A$ : tout sous-espace contenant $A$ contient $Vect (A)$ .

12.3 Familles de vecteurs

Définition 12.8Famille génératrice, famille libre, base

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille de vecteurs de $E$ .

Elle est génératrice (de $E$ ) si $Vect (x_{i})_{i \in I} = E$ : tout vecteur est combinaison linéaire des $x_{i}$ .
Elle est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale :

$i \sum λ_{i} x_{i} = 0 ⟹ \forall i, λ_{i} = 0$

(les $x_{i}$ sont linéairement indépendants) ; sinon elle est liée : l'un des vecteurs est combinaison des autres.

Une base est une famille à la fois libre et génératrice.

◆Théorème 12.9Coordonnées dans une base

$(e_{i})_{i \in I}$ est une base de $E$ si et seulement si tout vecteur $x \in E$ s'écrit de manière unique :

$x = i \in I \sum λ_{i} e_{i} (famille presque nulle) :$

les $λ_{i}$ sont les coordonnées de $x$ dans la base. (Génératrice = existence de l'écriture ; libre = unicité.)

Exemple 12.10Bases canoniques

$K^{n}$ : $(e_{1}, \dots, e_{n})$ avec $e_{i} = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ en position $i$ ) ;
$M_{n, p} (K)$ : les matrices élémentaires $(E_{i, j})$ (chapitre 9 : $A = \sum a_{i, j} E_{i, j}$ , écriture unique) ;
$K_{n} [X]$ : $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ ; $K [X]$ : $(X^{k})_{k \in N}$ (famille infinie, sommes presque nulles).

Proposition 12.11Deux outils de liberté

Ajout d'un vecteur : si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est libre, alors $(x_{1}, \dots, x_{n}, y)$ est libre si et seulement si $y \in / Vect (x_{1}, \dots, x_{n})$ .
Degrés échelonnés : une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. En particulier, toute famille $(P_{0}, \dots, P_{n})$ avec $de g P_{k} = k$ est une base de $K_{n} [X]$ .

Démonstration (Démonstration pour les degrés échelonnés)

Supposons $\sum λ_{k} P_{k} = 0$ avec les $λ_{k}$ non tous nuls, et soit $j$ le plus grand indice tel que $λ_{j} \neq = 0$ : le membre de gauche a alors pour degré $de g P_{j} \geq 0$ (le terme dominant de $λ_{j} P_{j}$ ne peut être compensé, les autres degrés étant distincts et l'écriture échelonnée) — contradiction avec $de g 0 = - \infty$ . Pour la base de $K_{n} [X]$ : famille libre de $n + 1$ vecteurs, génératrice par récurrence descendante sur le degré.

Exemple 12.12

$(1, (X - a), (X - a)^{2}, \dots, (X - a)^{n})$ est une base de $K_{n} [X]$ , et les coordonnées de $P$ y sont les $\frac{P ^{(k)} ( a )}{k !}$ : c'est la formule de Taylor du chapitre 10, relue comme un changement de base !

12.4 Somme de deux sous-espaces

Définition 12.13Somme, somme directe, supplémentaires

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de $E$ .

La somme $F + G = {f + g : f \in F, g \in G}$ est un sous-espace (c'est $Vect (F \cup G)$ ).
La somme est directe, notée $F \oplus G$ , si la décomposition de tout vecteur de $F + G$ en $f + g$ est unique.
$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F \oplus G$ : tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en $f + g$ .

◆Théorème 12.14Caractérisation par l'intersection

La somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = {0}$ .

Exercices du chapitre

Un espace vectoriel n'est jamais réunion finie de sous-espaces stricts corrigé
La famille des exponentielles est libre corrigé
Fonctions paires et impaires : supplémentaires sans dimension corrigé
Deux sous-espaces de même dimension ont un supplémentaire commun corrigé
Les inégalités du rang corrigé
$Ker u = Ker u^{2} ⟺ Im u = Im u^{2} ⟺ E = Ker u \oplus Im u$ corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre