Matrices et applications linéaires

Voyons $\mathbb{C}$ comme plan vectoriel réel, de base $(1,i)$. La multiplication $z\mapsto (a+ib)z$ est $\mathbb{R}$-linéaire, et :

$$1\mapsto a+ib(\text{coordonneˊes }(a,b)),i\mapsto (a+ib)i=-b+ia(\text{coordonneˊes }(-b,a)),$$

$${\mathrm{Mat}}_{(1,i)}(z\mapsto (a+ib)z)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$$

On retrouve les matrices du chapitre 9 (exercice 34) : les nombres complexes sont les matrices des similitudes directes, et $e^{i\theta }$ correspond à la rotation $R(\theta )$.

Les bases $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ étant fixées :

• Coordonnées de l'image : pour tout $x\in E$,

$${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C}}(u(x))={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\cdot {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(x)\text{— en abreˊgeˊ : }Y=AX.$$

• L'application $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E,F)$ sur ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ (on retrouve $\dim \mathcal{L}(E,F)=np$).
• Composition : $\mathrm{Mat}(v\circ u)=\mathrm{Mat}(v)\mathrm{Mat}(u)$ (avec des bases compatibles) — le produit matriciel a été défini exactement pour cela.
• $u$ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible, et alors $\mathrm{Mat}\left(u^{-1}\right)=\mathrm{Mat}(u{)}^{-1}$.
• Cas des endomorphismes : $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels et d'anneaux de $\mathcal{L}(E)$ sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ — composition d'un côté, produit de l'autre, $\mathrm{GL}(E)$ en face de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$.

• Les colonnes de $A$ engendrent l'image : $\mathrm{Im}A=\mathrm{Vect}(C_1,\dots ,C_p)$, et $\mathrm{rg}A$ est le rang de la famille des colonnes — toutes les notions de rang (famille de vecteurs, application linéaire, matrice) coïncident.
• Les lignes de $A$ fournissent un système d'équations du noyau : $AX=0$ s'écrit $L_{i}X=0$ pour chaque ligne.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ (carrée !), il y a équivalence entre :

$$A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺\mathrm{Ker}A=\{0\}⟺\text{les colonnes engendrent }{\mathbb{K}}^n⟺\mathrm{rg}A=n.$$

En particulier, toute matrice carrée inversible à gauche ou à droite est inversible (c'est l'équivalence injectif/surjectif/bijectif du chapitre 12, traduite en matrices), et l'on retrouve la condition d'inversibilité des matrices triangulaires : diagonale sans zéro $⟺$ le système triangulaire $AX=0$ n'a que la solution nulle.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ de rang $r$.

• Le système homogène $AX=0$ a pour ensemble de solutions $\mathrm{Ker}A$, sous-espace de ${\mathbb{K}}^p$ de dimension

$$\dim \mathrm{Ker}A=p-r\text{(theˊoreˋme du rang)}:$$

$r$ est le rang du système, $p-r$ son nombre de degrés de liberté (les « inconnues libres » du pivot).

• $AX=B$ est compatible si et seulement si $B\in \mathrm{Im}A$ ; l'ensemble des solutions est alors le sous-espace affine $X_0+\mathrm{Ker}A$, de dimension $p-r$.
• Si $A$ est carrée inversible, le système possède une unique solution $X=A^{-1}B$ : on dit que le système est de Cramer.

Les trois chapitres se referment l'un sur l'autre : le pivot (ch. 2 et 9) calcule, l'algèbre linéaire (ch. 12) structure, les matrices traduisent. Compter les solutions d'un système, c'est désormais appliquer le théorème du rang.

Notons $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }}$ (et $Q=P_{\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }}$ à l'arrivée).

• Vecteur : si $X={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(x)$ et $X^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(x)$, alors

$$\boxed{X=P{X}^{\prime }}$$

(attention au sens : le passage $\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }$ convertit les nouvelles coordonnées en anciennes).

• Application linéaire : si $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ et $A^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime },{\mathcal{C}}^{\prime }}(u)$, alors

$$A^{\prime }=Q^{-1}AP.$$

• Endomorphisme (même base aux deux bouts) :

$$\boxed{A^{\prime }=P^{-1}AP.}$$

Soit $u(x,y)=(y,x)$ (échange des coordonnées), de matrice $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ dans la base canonique. Dans la base ${\mathcal{B}}^{\prime }=((1,1),(1,-1))$ : $u(1,1)=(1,1)$ et $u(1,-1)=-(1,-1)$, donc

$$A^{\prime }=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

La géométrie devient limpide : $u$ est la symétrie par rapport à la diagonale (chapitre 12, exercice 6) — invariante sur $\mathrm{Vect}(1,1)$, opposée sur $\mathrm{Vect}(1,-1)$. Bien choisir la base, c'est rendre l'endomorphisme lisible : c'est le programme de la réduction, en deuxième année.

La symétrie échange $v$ et son reflet par rapport à la diagonale : dans la base adaptée $((1,1),(1,-1))$, sa matrice devient $\mathrm{diag}(1,-1)$.

Soit $u\in \mathcal{L}(E,F)$ de rang $r$. Il existe un couple de bases $(\mathcal{B},\mathcal{C})$ dans lequel

$${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=J_r=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$$

($r$ coefficients diagonaux égaux à $1$, tout le reste nul).

$A$ est de rang $r$ si et seulement si $A$ est équivalente à $J_r$. En conséquence : deux matrices de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang — le rang est l'invariant total de l'équivalence.

• Transposition : $\mathrm{rg}\left(A^{\top }\right)=\mathrm{rg}(A)$ — « le rang des lignes égale le rang des colonnes ».
• Matrices extraites : le rang de toute matrice extraite est $\le \mathrm{rg}A$, et $\mathrm{rg}A$ est la taille maximale d'une matrice carrée extraite inversible.
• Opérations élémentaires : les opérations sur les colonnes conservent l'image, celles sur les lignes conservent le noyau ; toutes conservent le rang.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ est semblable à $\mathrm{diag}(2,0)$ : dans la base $((1,1),(1,-1))$, l'endomorphisme associé envoie $(1,1)$ sur $2(1,1)$ et $(1,-1)$ sur $0$. En revanche, $\mathrm{diag}(2,0)$ et $\mathrm{diag}(1,0)$ sont équivalentes (rang $1$ toutes deux) mais pas semblables (l'invariant ci-dessous les sépare).

• Linéarité : $\mathrm{tr}(\lambda A+\mu B)=\lambda \mathrm{tr}A+\mu \mathrm{tr}B$ (la trace est une forme linéaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$).
• Commutation sous la trace : $\boxed{\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)}$   (même si $AB\ne BA$ !).
• Invariance par similitude : si $B=P^{-1}AP$, alors $\mathrm{tr}B=\mathrm{tr}A$.

On peut donc définir la trace d'un endomorphisme $u$ d'un espace de dimension finie : $\mathrm{tr}(u)=\mathrm{tr}({\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(u))$, indépendante de la base $\mathcal{B}$, linéaire, avec $\mathrm{tr}(uv)=\mathrm{tr}(vu)$.

Si $p$ est un projecteur d'un espace de dimension finie, alors :

$$\mathrm{tr}(p)=\mathrm{rg}(p).$$

Soit $u:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$, $(x,y,z)\mapsto (x+y,y+z)$. Écrire la matrice $A$ de $u$ dans les bases canoniques, et calculer l'image de $v=(1,2,3)$ de deux façons.

Écrire la matrice, dans la base $(1,i)$ de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel, de $u:z\mapsto (1+i)z$. Reconnaître géométriquement cette transformation.

Déterminer le rang de $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 3\\ 3& 6& 4\end{array}\right)$, puis la dimension de $\mathrm{Ker}A$.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 5\end{array}\right)$. Déterminer $\mathrm{rg}A$, une base de $\mathrm{Im}A$ et une base de $\mathrm{Ker}A$.

Dans ${\mathbb{R}}^2$, soit ${\mathcal{B}}^{\prime }=((1,1),(1,-1))$. Écrire la matrice de passage $P$ de la base canonique à ${\mathcal{B}}^{\prime }$, et déterminer les coordonnées de $v=(3,1)$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

Soit $u(x,y)=(y,x)$, de matrice $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ dans la base canonique. Calculer $A^{\prime }=P^{-1}AP$ pour $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, et interpréter.

Résoudre $\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x+y=2\end{array}$ en l'écrivant $AX=B$ et en calculant $A^{-1}$.

Montrer qu'une matrice $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ est de rang $1$ si et seulement s'il existe une colonne $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}$ et une ligne $L\in {\mathcal{M}}_{1,p}$, non nulles, telles que $A=CL$.

Montrer qu'il n'existe pas de matrices $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telles que $AB-BA=I_n$.

Soit $p$ un projecteur d'un espace $E$ de dimension finie. Redémontrer que $\mathrm{tr}(p)=\mathrm{rg}(p)$, puis : quel est le rang d'un projecteur de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice $M$ vérifiant $\mathrm{tr}M=2$ ? Décrire géométriquement un tel projecteur.

• Matrice de $u$ dans $(\mathcal{B},\mathcal{C})$ : colonnes $=$ images des vecteurs de base ; $Y=AX$ ; similitude $z\mapsto (a+ib)z$ $\to$ $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ ; isomorphismes $\mathcal{L}(E,F)\cong {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ (e.v.) et $\mathcal{L}(E)\cong {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ (e.v. et anneaux) ; $\mathrm{Mat}(v\circ u)=\mathrm{Mat}(v)\mathrm{Mat}(u)$ ; isomorphisme $⟺$ matrice inversible.
• Application canonique $u_A:X\mapsto AX$ ; $\mathrm{Ker}$, $\mathrm{Im}$, $\mathrm{rg}$ d'une matrice ; colonnes $\to$ image, lignes $\to$ équations du noyau ; $A$ carrée : inversible $⟺\mathrm{Ker}=\{0\}⟺$ colonnes génératrices $⟺\mathrm{rg}=n$ ; inversible d'un seul côté $\Rightarrow$ inversible.
• Systèmes : homogène $=$ noyau, $\dim =p-r$ (théorème du rang) ; compatible $⟺B\in \mathrm{Im}A$ ; solutions affines ; $A$ inversible $\Rightarrow$ Cramer : $X=A^{-1}B$.
• Changements de bases : passage $P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }}$ (colonnes $=$ nouveaux vecteurs dans l'ancienne base), inversible ; $X=P{X}^{\prime }$ (sens !) ; $A^{\prime }=Q^{-1}AP$ ; endomorphisme : $\boxed{A^{\prime }=P^{-1}AP}$ ; bien choisir la base rend la matrice simple.
• Équivalence : $B=Q^{-1}AP$ $⟺$ même rang $⟺$ équivalente à $J_r$ (forme normale, via le théorème du rang géométrique) ; $\mathrm{rg}{A}^{\top }=\mathrm{rg}A$ ; matrices extraites ; opérations élémentaires : colonnes $\to$ image, lignes $\to$ noyau, toutes $\to$ rang (méthode d'échelonnement).
• Similitude : $B=P^{-1}AP$ (même endomorphisme, deux bases) ; plus fine que l'équivalence. Trace : forme linéaire, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$, invariante par similitude $\Rightarrow$ trace d'un endomorphisme ; $\mathrm{tr}(p)=\mathrm{rg}(p)$ pour un projecteur ; $AB-BA=I_n$ impossible.