Matrices et applications linéaires

Voyons $\mathbb{C}$ comme plan vectoriel réel, de base $(1,i)$. La multiplication $z\mapsto (a+ib)z$ est $\mathbb{R}$-linéaire, et :

$$1\mapsto a+ib(\text{coordonneˊes }(a,b)),i\mapsto (a+ib)i=-b+ia(\text{coordonneˊes }(-b,a)),$$

$${\mathrm{Mat}}_{(1,i)}(z\mapsto (a+ib)z)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$$

On retrouve les matrices du chapitre 9 (exercice 34) : les nombres complexes sont les matrices des similitudes directes, et $e^{i\theta }$ correspond à la rotation $R(\theta )$.

Les bases $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ étant fixées :

• Coordonnées de l'image : pour tout $x\in E$,

$${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C}}(u(x))={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\cdot {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(x)\text{— en abreˊgeˊ : }Y=AX.$$

• L'application $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E,F)$ sur ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ (on retrouve $\dim \mathcal{L}(E,F)=np$).
• Composition : $\mathrm{Mat}(v\circ u)=\mathrm{Mat}(v)\mathrm{Mat}(u)$ (avec des bases compatibles) — le produit matriciel a été défini exactement pour cela.
• $u$ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible, et alors $\mathrm{Mat}\left(u^{-1}\right)=\mathrm{Mat}(u{)}^{-1}$.
• Cas des endomorphismes : $u\mapsto {\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels et d'anneaux de $\mathcal{L}(E)$ sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ — composition d'un côté, produit de l'autre, $\mathrm{GL}(E)$ en face de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$.

• Les colonnes de $A$ engendrent l'image : $\mathrm{Im}A=\mathrm{Vect}(C_1,\dots ,C_p)$, et $\mathrm{rg}A$ est le rang de la famille des colonnes — toutes les notions de rang (famille de vecteurs, application linéaire, matrice) coïncident.
• Les lignes de $A$ fournissent un système d'équations du noyau : $AX=0$ s'écrit $L_{i}X=0$ pour chaque ligne.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ (carrée !), il y a équivalence entre :

$$A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺\mathrm{Ker}A=\{0\}⟺\text{les colonnes engendrent }{\mathbb{K}}^n⟺\mathrm{rg}A=n.$$

En particulier, toute matrice carrée inversible à gauche ou à droite est inversible (c'est l'équivalence injectif/surjectif/bijectif du chapitre 12, traduite en matrices), et l'on retrouve la condition d'inversibilité des matrices triangulaires : diagonale sans zéro $⟺$ le système triangulaire $AX=0$ n'a que la solution nulle.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ de rang $r$.

• Le système homogène $AX=0$ a pour ensemble de solutions $\mathrm{Ker}A$, sous-espace de ${\mathbb{K}}^p$ de dimension

$$\dim \mathrm{Ker}A=p-r\text{(theˊoreˋme du rang)}:$$

$r$ est le rang du système, $p-r$ son nombre de degrés de liberté (les « inconnues libres » du pivot).

• $AX=B$ est compatible si et seulement si $B\in \mathrm{Im}A$ ; l'ensemble des solutions est alors le sous-espace affine $X_0+\mathrm{Ker}A$, de dimension $p-r$.
• Si $A$ est carrée inversible, le système possède une unique solution $X=A^{-1}B$ : on dit que le système est de Cramer.

Les trois chapitres se referment l'un sur l'autre : le pivot (ch. 2 et 9) calcule, l'algèbre linéaire (ch. 12) structure, les matrices traduisent. Compter les solutions d'un système, c'est désormais appliquer le théorème du rang.

Notons $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }}$ (et $Q=P_{\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }}$ à l'arrivée).

• Vecteur : si $X={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(x)$ et $X^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(x)$, alors

$$\boxed{X=P{X}^{\prime }}$$

(attention au sens : le passage $\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }$ convertit les nouvelles coordonnées en anciennes).

• Application linéaire : si $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ et $A^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime },{\mathcal{C}}^{\prime }}(u)$, alors

$$A^{\prime }=Q^{-1}AP.$$

• Endomorphisme (même base aux deux bouts) :

$$\boxed{A^{\prime }=P^{-1}AP.}$$