Exercices corrigés — Matrices et applications linéaires (mathématiques MPSI)
26 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Matrices d'applications linéaires
- Le triangle de Pascal est l'exponentielle de la dérivation Exercice de TD
- est un sous-corps de Exercice de TD
- La similitude z ↦ (1+i)z Exercice classique
- Soit u ∈ L(ℝ²) tel que u(1, 1) = (2, 0) et u(0, 1) = (1, 1). Justifier… Application directe du cours
- Matrice d'une application linéaire Application directe du cours
B. Noyau, image, rang
- La forme normale comme outil Exercice de TD
- et Exercice de TD
- Calcul de rang Exercice classique
- Noyau et image d'une matrice Application directe du cours
- Déterminer, selon le paramètre a ∈ ℝ, le rang d… Application directe du cours
- Les matrices de rang 1 Application directe du cours
C. Systèmes linéaires
- Le système de Vandermonde Exercice de TD
- Pour quelles valeurs de b₁, b₂, b₃ le système de m… Application directe du cours
- Montrer qu'un système de Cramer homogène n'a que la solution nulle, et… Application directe du cours
- Système de Cramer Application directe du cours
D. Changements de bases et similitude
- et Exercice de TD
- Les matrices de rang à similitude près Exercice de TD
- Un nilpotent d'indice maximal est un bloc de Jordan Exercice de TD
- Le cours établit que deux matrices semblables ont même trace… Exercice classique
- Changement de coordonnées Exercice classique
- La formule de changement de base, en acte. Soit u l'endomorphisme de… Application directe du cours
- Endomorphisme dans une bonne base Application directe du cours
E. Trace
- La trace est la seule forme linéaire qui ignore l'ordre des facteurs Exercice de TD
- Problème — Tout hyperplan de contient une matrice inversible Exercice de TD
- AB − BA = I est impossible Application directe du cours
- Trace d'un projecteur Application directe du cours