La forme normale $J_r$ comme outil

La stratégie. Toute question sur une matrice de rang $r$ se transporte sur $J_r$ par $A=Q{J}_{r}P$ : on la résout sur $J_r$, où tout est visible, puis on revient par $Q$ et $P$, qui sont inversibles et ne changent pas le rang (le rang est invariant par composition par un isomorphisme).

1) Rang $1$ et produit colonne-ligne. Si $A=CL$ avec $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}$ et $L=({\ell }_1,\dots ,{\ell }_p)$, la colonne $j$ de $A$ est ${\ell }_{j}C$ : toutes les colonnes sont proportionnelles à $C\ne 0$, et l'une au moins est non nulle ($L\ne 0$) : l'image est la droite $\mathrm{Vect}(C)$, le rang vaut $1$. Réciproquement, si $\mathrm{rg}A=1$, l'image est une droite $\mathrm{Vect}(C)$, chaque colonne $C_j$ s'écrit ${\ell }_{j}C$, et $A=CL$ avec $L=({\ell }_1,\dots ,{\ell }_p)\ne 0$.

2) Le rang comme nombre minimal. Une somme de $r$ termes. $J_r=\sum _{i=1}^r{E}_{i,i}$, où $E_{i,i}\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ a un seul coefficient non nul, en position $(i,i)$. Donc $$A=Q{J}_{r}P=\sum _{i=1}^{r}Q{E}_{i,i}P,$$ et chaque $Q{E}_{i,i}P$ est de rang $1$ : c'est le rang de $E_{i,i}$, car multiplier par des matrices inversibles conserve le rang. On peut même l'écrire $Q{E}_{i,i}P=C_i{L}_i$, où $C_i$ est la $i$-ième colonne de $Q$ et $L_i$ la $i$-ième ligne de $P$ — non nulles, puisque $Q$ et $P$ sont inversibles.

Pas moins de $r$. Si $A=B_1+\cdots +B_s$ avec $\mathrm{rg}{B}_j=1$, la sous-additivité du rang (chapitre 12 : $\mathrm{rg}(u+v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v$, appliquée aux applications canoniquement associées, et étendue à $s$ termes par récurrence) donne $r=\mathrm{rg}A\le s$. Donc $\mathrm{rg}A$ est exactement le nombre minimal de matrices de rang $1$ dont $A$ est la somme.

3) Factorisation de rang plein. Notons $U\in {\mathcal{M}}_{n,r}(\mathbb{K})$ la matrice formée des $r$ premières colonnes de $I_n$, et $V\in {\mathcal{M}}_{r,p}(\mathbb{K})$ celle formée des $r$ premières lignes de $I_p$. Le produit $UV\in {\mathcal{M}}_{n,p}$ a pour coefficient $(i,j)$ la somme ${\sum }_{k\le r}{\delta }_{i,k}{\delta }_{k,j}$, qui vaut $1$ si $i=j\le r$ et $0$ sinon : $UV=J_r$. Donc $$A=(QU)(VP)=MN,M=QU\in {\mathcal{M}}_{n,r},N=VP\in {\mathcal{M}}_{r,p}.$$ $\mathrm{rg}M=\mathrm{rg}U=r$ ($U$ a $r$ colonnes indépendantes ; $Q$ inversible conserve le rang), et $\mathrm{rg}N=\mathrm{rg}V=r$. Pour $r=1$, $M$ est une colonne et $N$ une ligne : on retrouve $A=CL$.

4) Somme de deux inversibles. Prenons $D_1=I_n+J_r=\mathrm{diag}(2,\dots ,2,1,\dots ,1)$ ($r$ coefficients $2$) et $D_2=-I_n$ : deux matrices diagonales à diagonale sans zéro, donc inversibles, et $D_1+D_2=J_r$. Alors $$A=Q{J}_{r}P=Q{D}_{1}P+Q{D}_{2}P,$$ somme de deux produits de matrices inversibles, donc de deux inversibles. Si $r=0$, $A=0=I_n+(-I_n)$. Toute matrice carrée est somme de deux matrices inversibles : ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ engendre ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

Ce que l'exercice installe. La classification par le rang n'est pas seulement un théorème d'existence : $J_r$ est un outil, sur lequel on lit des décompositions (somme de rangs $1$, produit de rang plein, somme d'inversibles) que $Q$ et $P$ transportent à toute matrice. Le problème final utilisera exactement ce transport.