mathématiques MPSI · Chapitre 13 · Exercice de TD

La forme normale $J_{r}$ comme outil

Matrices et applications linéaires · B. Noyau, image, rang · niveau 2

Énoncé

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ de rang $r \geq 1$ ; on rappelle qu'il existe $Q \in GL_{n} (K)$ et $P \in GL_{p} (K)$ avec $A = Q J_{r} P$ .

1) Rappeler pourquoi une matrice est de rang $1$ si et seulement si elle s'écrit $C L$ avec $C$ colonne et $L$ ligne non nulles (exercice résolu 8 du chapitre).

2) Montrer que $A$ est somme de $r$ matrices de rang $1$ , et qu'elle n'est pas somme de moins de $r$ matrices de rang $1$ : le rang est le nombre minimal de matrices de rang $1$ nécessaires.

3) Montrer que $A = M N$ avec $M \in M_{n, r} (K)$ et $N \in M_{r, p} (K)$ , toutes deux de rang $r$ (factorisation de rang plein) ; retrouver le cas $r = 1$ .

4) On suppose $A$ carrée ( $n = p$ ). Montrer que $J_{r}$ est somme de deux matrices diagonales inversibles, et en déduire que toute matrice de $M_{n} (K)$ est somme de deux matrices inversibles.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Toute question sur une matrice de rang $r$ se transporte sur $J_{r}$ par $A = Q J_{r} P$ : on la résout sur $J_{r}$ , où tout est visible, puis on revient par $Q$ et $P$ , qui sont inversibles et ne changent pas le rang (le rang est invariant par composition par un isomorphisme).

1) Rang $1$ et produit colonne-ligne. Si $A = C L$ avec $C \in M_{n, 1}$ et $L = (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{p})$ , la colonne $j$ de $A$ est $ℓ_{j} C$ : toutes les colonnes sont proportionnelles à $C \neq = 0$ , et l'une au moins est non nulle ( $L \neq = 0$ ) : l'image est la droite $Vect (C)$ , le rang vaut $1$ . Réciproquement, si $rg A = 1$ , l'image est une droite $Vect (C)$ , chaque colonne $C_{j}$ s'écrit $ℓ_{j} C$ , et $A = C L$ avec $L = (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{p}) \neq = 0$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Montrer que $A$ est somme de $r$ matrices de rang $1$ , et qu'elle n'est pas somme de moins de $r$ matrices de rang $1$ : le rang est le nombre minimal de matrices de rang $1$ nécessaires.

Élève

Pour le 2), je vois qu'il faut décomposer $J_{r}$ pour écrire $A$ comme somme de $r$ matrices de rang $1$ . Mais pour « pas moins de $r$ », je ne sais pas par où commencer : il faudrait contrôler toutes les décompositions possibles de $A$ .

Pars d'une décomposition quelconque $A = B_{1} + \dots + B_{s}$ avec chaque $B_{j}$ de rang $1$ . Que peux-tu dire de l'image de $A$ par rapport aux images des $B_{j}$ ?

Élève

Chaque colonne de $A$ est la somme des colonnes correspondantes des $B_{j}$ , donc $Im A \subset Im B_{1} + \dots + Im B_{s}$ , qui est une somme de $s$ droites.

C'est la bonne inclusion, et un argument de dimension règle ce sens. Revenons à l'existence : une fois $J_{r}$ décomposée, pourquoi chaque terme multiplié à gauche par $Q$ et à droite par $P$ garde-t-il exactement le rang $1$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

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