mathématiques MPSI · Chapitre 13 · Application directe du cours

Les matrices de rang 1

Matrices et applications linéaires · B. Noyau, image, rang · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer qu'une matrice $A \in M_{n, p} (K)$ est de rang $1$ si et seulement s'il existe une colonne $C$ et une ligne $L$ , non nulles, telles que $A = C L$ .

Corrigé

Si $A = C L$ : chaque colonne vaut $ℓ_{j} C$ — toutes proportionnelles à $C$ : $rg A = 1$ .

Si $rg A = 1$ : l'image est une droite $Vect (C)$ ; chaque colonne s'écrit $ℓ_{j} C$ , d'où $A = C L$ .

(Conséquence : $A^{2} = (L C) A$ et le scalaire $L C$ est $tr A$ : toute matrice de rang 1 vérifie $A^{2} = tr (A) A$ .)

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