AB − BA = I est impossible

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 13 — Matrices et applications linéaires · E. Trace

Énoncé

Montrer qu'il n'existe pas de matrices $A, B \in M_{n} (K)$ telles que $A B - B A = I_{n}$ .

Corrigé

Prenons la trace : $tr (A B - B A) = tr (A B) - tr (B A) = 0$ , tandis que $tr (I_{n}) = n \neq = 0$ . Contradiction. (Un calcul d'une ligne, grâce au bon invariant. En mécanique quantique, $[x^, p^] = i ℏ id$ exige pour cette raison des opérateurs en dimension infinie.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.