mathématiques MPSI · Chapitre 13 · Application directe du cours

AB − BA = I est impossible

Matrices et applications linéaires · E. Trace · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer qu'il n'existe pas de matrices $A, B \in M_{n} (K)$ telles que $A B - B A = I_{n}$ .

Corrigé

Prenons la trace : $tr (A B - B A) = tr (A B) - tr (B A) = 0$ , tandis que $tr (I_{n}) = n \neq = 0$ . Contradiction. (Un calcul d'une ligne, grâce au bon invariant. En mécanique quantique, $[x^, p^] = i ℏ id$ exige pour cette raison des opérateurs en dimension infinie.)

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