mathématiques MPSI · Chapitre 13 · Exercice de TD

Les matrices de rang $1$ à similitude près

Matrices et applications linéaires · D. Changements de bases et similitude · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (K)$ de rang $1$ , $n \geq 2$ , écrite $A = C L$ (exercice 3).

1) Montrer que $L C = tr (A)$ et que $A^{2} = tr (A) A$ .

2) On suppose $tr A \neq = 0$ . Montrer que $p = \frac{A}{tr A}$ est la matrice d'un projecteur de rang $1$ , et en déduire que $A$ est semblable à $diag (tr A, 0, \dots, 0)$ .

3) On suppose $tr A = 0$ . Montrer que $A^{2} = 0$ . Soit $x$ tel que $A x \neq = 0$ ; montrer que $A x \in Ker A$ , compléter $(A x)$ en une base de $Ker A$ , et montrer que $(A x, x, k_{3}, \dots, k_{n})$ est une base de $K^{n}$ dans laquelle la matrice de $A$ est $E_{1, 2}$ .

4) Conclure : deux matrices de rang $1$ sont semblables si et seulement si elles ont la même trace.

5) Applications : la matrice $J$ de uns (chapitre 9) est semblable à $diag (n, 0, \dots, 0)$ ; en déduire $J^{k}$ . Les matrices $(1000)$ et $(0010)$ sont-elles équivalentes ? semblables ?

6) Rang et trace suffisent-ils en général à décider la similitude ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Une matrice de rang $1$ n'a qu'un seul nombre à elle : sa trace. On montre qu'elle décide de tout, en construisant dans chaque cas une base adaptée où la matrice devient la plus simple possible — c'est le programme : « recherche d'une matrice simple semblable à une matrice donnée ».

1) $A^{2} = tr (A) A$ . $L C$ est une matrice $1 \times 1$ , le scalaire $\sum_{i} ℓ_{i} c_{i}$ . Et $(C L)_{i, i} = c_{i} ℓ_{i}$ , donc $tr (A) = \sum_{i} c_{i} ℓ_{i} = L C$ . Alors, par associativité, $A^{2} = (C L) (C L) = C (L C) L = (L C) C L = tr (A) A .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) On suppose $tr A \neq = 0$ . Montrer que $p = \frac{A}{tr A}$ est la matrice d'un projecteur de rang $1$ , et en déduire que $A$ est semblable à $diag (tr A, 0, \dots, 0)$ .

Élève

J'ai $p^{2} = p$ grâce au 1), donc $p$ est un projecteur, de même rang que $A$ . Mais pour la similitude avec $diag (tr A, 0, \dots, 0)$ , je ne vois pas quelle base prendre.

Un projecteur est associé à une décomposition de $K^{n}$ en somme directe : laquelle, et comment $p$ agit-il sur chacun des deux sous-espaces ?

Élève

$K^{n} = Im p \oplus Ker p$ ; $p$ fixe chaque vecteur de $Im p$ et annule $Ker p$ . Et $Im p$ est une droite, puisque $p$ est de rang $1$ .

Quelle est alors la matrice de $p$ dans une base adaptée à cette décomposition ? Comment repasses-tu ensuite de $p$ à $A$ , et quelle matrice de passage traduit la similitude cherchée ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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Énoncé

Corrigé de la question 1

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