Soit u ∈ L(ℝ²) tel que u(1, 1) = (2, 0) et u(0, 1) = (1, 1). Justifier…

Stratégie : le théorème « une application linéaire est déterminée par les images d'une base ». Encore faut-il vérifier que les vecteurs sur lesquels on impose les valeurs forment une base — c'est là tout le contenu de la première question.

a) Existence et unicité. Posons $f_1=(1,1)$ et $f_2=(0,1)$. La famille $\mathcal{F}=(f_1,f_2)$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$ : elle a deux vecteurs en dimension $2$, et $$\det \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=1\ne 0.$$ Le théorème de prolongement linéaire dit alors : pour toute donnée de deux vecteurs $w_1,w_2$, il existe une et une seule application linéaire envoyant $f_k$ sur $w_k$. Ici $w_1=(2,0)$, $w_2=(1,1)$ : $u$ existe et est unique.

b) La matrice dans la base canonique. ⚠️ Le piège est ici, et il est fatal. On ne connaît pas $u(e_1)$ : les données portent sur $f_1$ et $f_2$, pas sur $e_1$ et $e_2$. Écrire $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ en rangeant bêtement $(2,0)$ et $(1,1)$ en colonnes donne la matrice de $u$ de la base $\mathcal{F}$ vers la base canonique, pas sa matrice canonique.

Il faut donc d'abord décomposer $e_1$ sur $\mathcal{F}$ : $$e_1=(1,0)=(1,1)-(0,1)=f_1-f_2.$$ Par linéarité : $$u(e_1)=u(f_1)-u(f_2)=(2,0)-(1,1)=(1,-1),u(e_2)=u(f_2)=(1,1).$$ D'où $$\boxed{A={\mathrm{Mat}}_{\text{can}}(u)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)}$$

Contrôle. $A(1,1{)}^{\top }=(1+1,-1+1{)}^{\top }=(2,0{)}^{\top }$ ✓ et $A(0,1{)}^{\top }=(1,1{)}^{\top }$ ✓. Autre contrôle, par la formule de changement de base : avec $P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ (passage de la canonique à $\mathcal{F}$), on a $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ ✓ — la matrice « naïve » n'était pas fausse, elle était exprimée dans d'autres bases.

Un bonus qui se filme. $A=\sqrt{2}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\sqrt{2}R\left(-\frac{\pi }{4}\right)$ : $u$ est la similitude directe $z\mapsto (1-i)z$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $-\frac{\pi }{4}$. On ne pouvait pas le deviner sur l'énoncé.

Ce que l'exercice installe. Une matrice ne signifie rien sans ses bases. Les deux matrices $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ décrivent le même $u$ ; c'est la formule de changement de base qui passe de l'une à l'autre, et c'est l'objet du thème D.