$Ker (A^{⊤} A) = Ker A$ et $rg (A^{⊤} A) = rg A$

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 13 — Matrices et applications linéaires · B. Noyau, image, rang

Énoncé

Soit $A \in M_{n, p} (R)$ .

1) Montrer que $tr (A^{⊤} A) = i, j \sum a_{i, j}^{2}$ . En déduire $A^{⊤} A = 0 \Rightarrow A = 0$ .

2) Pour $X \in M_{p, 1} (R)$ , que vaut $X^{⊤} X$ ? À quelle condition est-il nul ?

3) Montrer que $Ker (A^{⊤} A) = Ker A$ , puis que $rg (A^{⊤} A) = rg A$ et $rg (A A^{⊤}) = rg A$ .

4) Montrer que sur $C$ tout cela tombe : pour $A = (1 i)$ , calculer $A A^{⊤}$ . Par quoi faudra-t-il remplacer la transposée ?

Corrigé

La stratégie. Une seule idée : $X^{⊤} X$ est une somme de carrés de réels, nulle seulement si $X$ est nul. La positivité entre dans l'algèbre linéaire, et elle est réservée aux réels.

1) La trace de $A^{⊤} A$ . $A^{⊤} A \in M_{p} (R)$ , et par définition du produit, avec $(A^{⊤})_{j, k} = a_{k, j}$ : $(A^{⊤} A)_{j, j} = k = 1 \sum n (A^{⊤})_{j, k} a_{k, j} = k = 1 \sum n a_{k, j}^{2} :$ le $j$ -ième coefficient diagonal est la somme des carrés de la $j$ -ième colonne de $A$ . En sommant sur $j$ : $tr (A^{⊤} A) = \sum_{k, j} a_{k, j}^{2}$ , la somme des carrés de tous les coefficients. Si $A^{⊤} A = 0$ , sa trace est nulle, donc une somme de carrés de réels est nulle, donc chaque terme est nul : $A = 0$ .

2) Le carré d'une colonne. $X^{⊤} X$ est une matrice $1 \times 1$ , c'est-à-dire un réel : $X^{⊤} X = \sum_{i = 1}^{p} x_{i}^{2} \geq 0$ , nul si et seulement si tous les $x_{i}$ sont nuls, c'est-à-dire $X = 0$ .

3) Les noyaux, puis les rangs. $Ker A \subset Ker (A^{⊤} A)$ : si $A X = 0$ , alors $A^{⊤} A X = A^{⊤} 0 = 0$ . Réciproquement : si $A^{⊤} A X = 0$ , multiplions à gauche par $X^{⊤}$ : $X^{⊤} A^{⊤} A X = 0$ , c'est-à-dire $(A X)^{⊤} (A X) = 0$ (car $(A X)^{⊤} = X^{⊤} A^{⊤}$ ). Par le 2) appliqué à la colonne $A X \in M_{n, 1} (R)$ , $A X = 0$ . Donc $Ker (A^{⊤} A) = Ker A .$ Le point délicat. On ne peut pas « simplifier par $A^{⊤}$ » — $A^{⊤}$ n'est pas inversible en général. C'est la multiplication par $X^{⊤}$ qui transforme l'égalité en une somme de carrés, et la positivité qui conclut. Rangs. $A$ et $A^{⊤} A$ agissent toutes deux sur $R^{p}$ ; le théorème du rang donne $rg (A^{⊤} A) = p - dim Ker (A^{⊤} A) = p - dim Ker A = rg A$ . En appliquant ce résultat à $A^{⊤}$ : $rg (A A^{⊤}) = rg (A^{⊤}) = rg A$ , par invariance du rang par transposition.

4) Le cas complexe. $A = (1 i) \in M_{1, 2} (C)$ , $A^{⊤} = (1 i)$ , et $A A^{⊤} = 1 + i^{2} = 0$ , alors que $A \neq = 0$ . Le 1) tombe (pour $A^{⊤}$ à la place de $A$ : $tr (A A^{⊤}) = 0$ sans que $A$ soit nulle), et le 3) aussi : $Ker (A A^{⊤}) = C$ alors que $Ker (A^{⊤}) = {0}$ . Une somme de carrés de complexes peut s'annuler sans que ses termes le soient : $1^{2} + i^{2} = 0$ . Pour rétablir les résultats, il faut remplacer la transposée par la transposée conjuguée $A^{⊤}$ , qui donne $X^{⊤} X = \sum ∣ x_{i} ∣^{2}$ — une somme de carrés de modules, à nouveau nulle seulement si $X = 0$ . C'est l'annonce du chapitre 15 (le produit scalaire, sur $R$ ) et de sa version complexe en seconde année.

Ce que l'exercice installe. L'application $(A, B) \mapsto tr (A^{⊤} B)$ est un produit scalaire sur $M_{n, p} (R)$ , et le 1) en est l'axiome « défini positif ». Le seuil entre l'algèbre linéaire pure (tout corps) et la géométrie (les réels) passe exactement par $X^{⊤} X \geq 0$ : c'est la porte du chapitre 15.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

Ker(A⊤A)=KerA et rg(A⊤A)=rgA

Énoncé

Corrigé

$Ker (A^{⊤} A) = Ker A$ et $rg (A^{⊤} A) = rg A$