$\mathbb{C}$ est un sous-corps de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

La stratégie. Changer de registre : le produit des complexes devient le produit des matrices, la conjugaison la transposition, le module l'égalité $M^{\top }M=|z{|}^{2}I$. L'exemple est cité par le programme — la similitude de multiplicateur $a+ib$ — et l'exercice le pousse jusqu'à décrire toutes les applications $\mathbb{R}$-linéaires de $\mathbb{C}$.

1) La matrice et la multiplicativité. L'application $w\mapsto zw$ est $\mathbb{R}$-linéaire. Ses colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de base : $z\cdot 1=a+ib\mapsto (a,b)$, et $z\cdot i=ai+i^{2}b=-b+ia\mapsto (-b,a)$. D'où $$M(z)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$$ Additivité : $M(z+z^{\prime })$ a pour colonnes $(a+a^{\prime },b+b^{\prime })$ et $(-b-b^{\prime },a+a^{\prime })$, somme des colonnes de $M(z)$ et $M(z^{\prime })$. Multiplicativité : l'application $w\mapsto z{z}^{\prime }w$ est la composée de $w\mapsto z^{\prime }w$ puis de $w\mapsto z(\cdot )$ ; la matrice d'une composée est le produit des matrices, dans le même ordre : $M(z{z}^{\prime })=M(z)M(z^{\prime })$. Commutativité : $M(z)M(z^{\prime })=M(z{z}^{\prime })=M(z^{\prime }z)=M(z^{\prime })M(z)$. Deux matrices de cette forme commutent toujours — chose rare dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, héritée de la commutativité de $\mathbb{C}$. Vérification directe : $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& -(ad+bc)\\ ad+bc& ac-bd\end{array}\right)=M((ac-bd)+i(ad+bc))$, et c'est bien $M(z{z}^{\prime })$.

2) Conjugaison et module. $\bar{z}=a-ib$, donc $M(\bar{z})=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)=M(z{)}^{\top }$. Alors $M(z{)}^{\top }M(z)=M(\bar{z})M(z)=M(\bar{z}z)=M(|z{|}^2)=|z{|}^2{I}_2$, puisque $M(r)=r{I}_2$ pour $r$ réel. Pour $z\ne 0$ : $M(z)\cdot \frac{M(z{)}^{\top }}{|z{|}^2}=I_2$ (le produit commute), donc $$M(z{)}^{-1}=\frac{1}{|z{|}^2}M(z{)}^{\top }=M\left(\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}\right)=M\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right).$$ L'inverse d'un complexe, $\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$, se lit sur la matrice.

3) Le corps $\mathcal{S}$. $M(z)=a{I}_2+bJ$ avec $J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=M(i)$ : donc $\mathcal{S}=\mathrm{Vect}(I_2,J)$, sous-espace de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, de dimension $2$ car $I_2$ et $J$ ne sont pas proportionnelles. Il est stable par produit d'après le 1). L'application $z\mapsto M(z)$ est additive, multiplicative, envoie $1$ sur $I_2$, et elle est injective : $M(z)=0$ force $a=b=0$. C'est donc un isomorphisme d'anneaux de $\mathbb{C}$ sur $\mathcal{S}$ ; comme $\mathbb{C}$ est un corps commutatif, $\mathcal{S}$ en est un : tout $M(z)\ne 0$ a un inverse dans $\mathcal{S}$, à savoir $M(1/z)$, et le produit est commutatif. En particulier $J^2=M(i{)}^2=M(-1)=-I_2$ : la matrice $J$ est le nombre $i$, la rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$.

4) La conjugaison, et la décomposition. $\bar{1}=1\mapsto (1,0)$, $\bar{i}=-i\mapsto (0,-1)$ : $$C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$ Ce n'est pas une similitude directe : une matrice de $\mathcal{S}$ a ses deux coefficients diagonaux égaux, et $1\ne -1$. $C^2=I_2$ : la conjugaison est une symétrie (chapitre 12, $s^2=\mathrm{id}$), par rapport à l'axe réel $\{w:\bar{w}=w\}$ parallèlement à l'axe imaginaire $\{w:\bar{w}=-w\}$.

La somme directe. $\mathcal{S}C=\{M(z)C\}$ ; comme $C$ est inversible, $M(z)\mapsto M(z)C$ est injective, donc $\mathcal{S}C$ est un sous-espace de dimension $2$. Explicitement $M(z)C=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)$. Intersection : une matrice à la fois de la forme $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}c& d\\ d& -c\end{array}\right)$ vérifie $a=c=-a$, donc $a=c=0$, et $-b=d=b$, donc $b=d=0$ : $\mathcal{S}\cap \mathcal{S}C=\{0\}$. Dimensions : $2+2=4=\dim {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Donc ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})=\mathcal{S}\oplus \mathcal{S}C$.

Conséquence. Soit $u:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ $\mathbb{R}$-linéaire, de matrice $U$ dans $(1,i)$. Elle s'écrit de façon unique $U=M(\alpha )+M(\beta )C$ avec $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$. Or $M(\beta )C$ est la matrice de $w\mapsto \beta \bar{w}$ (conjuguer, puis multiplier par $\beta$ : composée, produit des matrices). Donc $$u(w)=\alpha w+\beta \bar{w}\text{pour tout }w,\text{ avec }(\alpha ,\beta )\text{ unique.}$$

5) Géométrie et bijectivité. $\mathcal{S}$ est l'ensemble des similitudes directes $w\mapsto \alpha w$ (rotation d'angle $\arg \alpha$ composée avec l'homothétie de rapport $|\alpha |$), plus la matrice nulle ; $\mathcal{S}C$ est l'ensemble des similitudes indirectes $w\mapsto \beta \bar{w}$ (une réflexion, puis une similitude directe), plus zéro. Toute application $\mathbb{R}$-linéaire du plan est la somme d'une directe et d'une indirecte.

Bijectivité. En dimension finie, $u$ est bijective si et seulement si elle est injective. Si $|\alpha |\ne |\beta |$ : $\alpha w+\beta \bar{w}=0$ donne $|\alpha ||w|=|\beta ||\bar{w}|=|\beta ||w|$, donc $(|\alpha |-|\beta |)|w|=0$, donc $w=0$ : injective, bijective. Si $|\alpha |=|\beta |=0$, $u=0$ n'est pas bijective. Si $|\alpha |=|\beta |\ne 0$ : écrivons $\frac{\beta }{\alpha }=e^{i\theta }$ et prenons $w=i{e}^{i\theta /2}\ne 0$ ; alors $\bar{w}=-i{e}^{-i\theta /2}$ et $\beta \bar{w}=\alpha e^{i\theta }(-i)e^{-i\theta /2}=-\alpha i{e}^{i\theta /2}=-\alpha w$, donc $u(w)=0$ : non injective. Conclusion : $$u\text{ bijective}⟺|\alpha |\ne |\beta |.$$ (Au chapitre 14, on lira la même condition sur le déterminant de $U$, qui vaut $|\alpha {|}^2-|\beta {|}^2$.)

Ce que l'exercice installe. Le dictionnaire du cours fait plus que traduire : il transporte les structures. Un corps de nombres devient un corps de matrices, la conjugaison devient la transposée, le module devient $M^{\top }M$. Et la décomposition $\mathcal{S}\oplus \mathcal{S}C$ dit exactement ce qu'est une application $\mathbb{R}$-linéaire du plan : une partie qui respecte $i$, et une partie qui le conjugue.