Trace d'un projecteur

Dans une base adaptée à $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$, la matrice de $p$ est $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, de trace $r=\mathrm{rg}p$. L'invariance de la trace par similitude conclut : $\mathrm{tr}(p)=\mathrm{rg}(p)$ dans n'importe quelle base.

Application : $\mathrm{tr}=2$ force $\mathrm{rg}=2$ — la projection sur un plan de ${\mathbb{R}}^3$ parallèlement à une droite. La trace révèle la géométrie.