Trace d'un projecteur

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 13 — Matrices et applications linéaires · E. Trace

Énoncé

Soit $p$ un projecteur d'un espace $E$ de dimension finie. Montrer que $tr (p) = rg (p)$ , puis : quel est le rang d'un projecteur de $R^{3}$ de trace $2$ ?

Corrigé

Dans une base adaptée à $E = Im p \oplus Ker p$ , la matrice de $p$ est $(I_{r} 0 00)$ , de trace $r = rg p$ . L'invariance de la trace par similitude conclut : $tr (p) = rg (p)$ dans n'importe quelle base.

Application : $tr = 2$ force $rg = 2$ — la projection sur un plan de $R^{3}$ parallèlement à une droite. La trace révèle la géométrie.

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