Le système de Vandermonde

La stratégie. Un système linéaire est une application linéaire lue dans des bases. Ici l'application est l'évaluation en $n$ points, dont on connaît tout par le chapitre 10 : injective par le nombre de racines, inversée par Lagrange. Le système se résout donc sans aucun pivot.

1) La traduction. La $i$-ième ligne de $V\mathbf{a}$ vaut ${\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j{x}_i^j=P(x_i)$, avec $P={\sum }_j{a}_j{X}^j$. Le système $V\mathbf{a}=\mathbf{y}$ s'écrit donc $P(x_i)=y_i$ pour $i=1,\dots ,n$ : trouver $\mathbf{a}$, c'est trouver les coefficients d'un polynôme de degré au plus $n-1$ prenant les valeurs $y_i$ aux points $x_i$. Résoudre le système, c'est interpoler.

2) La matrice de $\Phi$, et l'inversibilité. $\Phi$ est linéaire (chaque évaluation l'est). Dans la base $(1,X,\dots ,X^{n-1})$ au départ et la base canonique de ${\mathbb{K}}^n$ à l'arrivée, la colonne $j$ de sa matrice est $\Phi (X^j)=(x_1^j,\dots ,x_n^j)$ : c'est la colonne $j$ de $V$. Donc $V=\mathrm{Mat}(\Phi )$, et $V\mathbf{a}=\mathbf{y}$ est l'équation $\Phi (P)=\mathbf{y}$ en coordonnées.

Inversibilité. $V$ est inversible si et seulement si $\Phi$ est bijective ; les deux espaces sont de dimension $n$, donc si et seulement si $\Phi$ est injective, c'est-à-dire $\mathrm{Ker}\Phi =\{0\}$.

• Si les $x_i$ sont deux à deux distincts : un $P\in \mathrm{Ker}\Phi$ a $n$ racines distinctes et un degré au plus $n-1$, donc $P=0$ (chapitre 10). $\Phi$ est injective, $V$ inversible.
• Si $x_i=x_k$ pour deux indices $i\ne k$ : le polynôme $P={\prod }_{l\ne i}(X-x_l)$ est de degré $n-1$, non nul, s'annule en tous les $x_l$ pour $l\ne i$, et en $x_i=x_k$ aussi. Donc $P\in \mathrm{Ker}\Phi$, $P\ne 0$ : $\Phi$ n'est pas injective, $V$ n'est pas inversible. $$V\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺\text{les }{x}_i\text{ sont deux aˋ deux distincts.}$$ Le point délicat. Dans le cas dégénéré, il ne suffit pas de dire « deux lignes égales » — c'est vrai, mais l'exercice demande un élément non nul du noyau, et c'est le polynôme qui l'exhibe. Le déterminant de Vandermonde, au chapitre 14, redira la même chose en une formule.

3) L'inverse par Lagrange. Les $x_i$ étant distincts, les polynômes de Lagrange $L_i$ vérifient $L_i(x_k)=1$ si $k=i$, $0$ sinon : donc $\Phi (L_i)=e_i$, le $i$-ième vecteur de la base canonique de ${\mathbb{K}}^n$, et ${\Phi }^{-1}(e_i)=L_i$. La matrice de ${\Phi }^{-1}$ dans les bases inverses est $V^{-1}$, et sa colonne $i$ est le vecteur des coordonnées de ${\Phi }^{-1}(e_i)=L_i$ dans $(1,X,\dots ,X^{n-1})$ : les coefficients de $L_i$. Voilà $V^{-1}$ sans aucun calcul d'inverse — c'est la formule de Cramer sous sa forme la plus lisible.

Pour $n=3$, points $0,1,2$. $V$ a pour lignes $(1,0,0)$, $(1,1,1)$, $(1,2,4)$. Les polynômes de Lagrange : $$L_1=\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)}=\frac{X^2-3X+2}{2},L_2=\frac{X(X-2)}{(1)(-1)}=-X^2+2X,L_3=\frac{X(X-1)}{(2)(1)}=\frac{X^2-X}{2}.$$ Coefficients en colonnes (ordre $1,X,X^2$) : $V^{-1}$ a pour colonnes $\left(1,-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$, $(0,2,-1)$, $\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, soit les lignes $(1,0,0)$, $\left(-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2},-1,\frac{1}{2}\right)$. Contrôle sur la ligne $(1,2,4)$ de $V$ : produit avec les trois colonnes, $1-3+2=0$, $0+4-4=0$, $0-1+2=1$ : c'est bien la ligne $(0,0,1)$ de $I_3$. Et sur la ligne $(1,1,1)$ : $1-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=0$, $2-1=1$, $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$.

4) Le système transposé. ${\sum }_i{a}_i{x}_i^j=y_j$ pour $j=0,\dots ,n-1$ s'écrit $V^{\top }\mathbf{a}=\mathbf{y}$ : la matrice est $V^{\top }$, et $\mathrm{rg}{V}^{\top }=\mathrm{rg}V=n$ (invariance du rang par transposition), donc $V^{\top }$ est inversible, avec $(V^{\top }{)}^{-1}=(V^{-1}{)}^{\top }$. Le système est de Cramer dès que les points sont distincts.

L'exemple. Les points sont $1,2,3$ : les équations sont $a+b+c=3$ (puissance $0$), $a+2b+3c=4$ (puissance $1$), $a+4b+9c=8$ (puissance $2$). Solution unique. Par élimination : la deuxième moins la première donne $b+2c=1$ ; la troisième moins la deuxième donne $2b+6c=4$, soit $b+3c=2$ ; la différence donne $c=1$, puis $b=-1$, puis $a=3-b-c=3$. Contrôle sur la troisième équation : $3-4+9=8$. $(a,b,c)=(3,-1,1)$.

Ce que l'exercice installe. Un système de Cramer est une application linéaire bijective ; l'écrire ainsi donne l'existence et l'unicité sans résoudre, et parfois l'inverse sans calcul, quand on connaît l'application. La matrice de Vandermonde est le pont entre le chapitre 10 (interpolation), ce chapitre (systèmes) et le suivant (déterminants).