La formule de changement de base, en acte. Soit u l'endomorphisme de…

Stratégie : appliquer la formule $A^{\prime }=P^{-1}AP$, puis lire le résultat. Toute la difficulté du changement de base tient dans le sens de $P$ : ses colonnes sont les nouveaux vecteurs exprimés dans l'ancienne base.

a) La matrice de passage. ${\mathcal{B}}^{\prime }=(f_1,f_2)$ avec $f_1=(1,1)$, $f_2=(1,-1)$ : $$P={\mathrm{Mat}}_{\text{can}}(f_1,f_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),\det P=-2\ne 0$$ donc ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est bien une base et $P$ est inversible.

b) Son inverse. Formule du chapitre 9, ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ : $$P^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$ (Ici $P^{-1}=\frac{1}{2}P$ : accident agréable, $P$ étant symétrique de colonnes orthogonales de même norme.)

c) Le calcul. $$AP=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -2\end{array}\right),A^{\prime }=P^{-1}(AP)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$

$$\boxed{A^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(u)=\mathrm{diag}(4,2)}$$

⚠️ Le sens de la formule, qu'on inverse une fois sur deux. $X=P{X}^{\prime }$ (l'ancienne colonne s'obtient de la nouvelle en multipliant par $P$), donc $X^{\prime }=P^{-1}X$ et $Y=AX$ devient $P{Y}^{\prime }=AP{X}^{\prime }$, d'où $Y^{\prime }=P^{-1}AP{X}^{\prime }$. Écrire $A^{\prime }=PA{P}^{-1}$ donnerait ici $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$ — les deux valeurs échangées : l'erreur est invisible sur cet exemple, ce qui la rend redoutable. Sur un exemple non symétrique elle produit une matrice fausse.

Contrôle, et c'est le plus instructif. La diagonale annonce que $u$ multiplie $f_1$ par $4$ et $f_2$ par $2$. Vérifions directement, sans matrice de passage : $$u(1,1)=(3+1,1+3)=(4,4)=4(1,1)✓,u(1,-1)=(3-1,1-3)=(2,-2)=2(1,-1)✓.$$ Autres contrôles : $\mathrm{tr}A=6=4+2=\mathrm{tr}{A}^{\prime }$ ✓ et $\det A=9-1=8=4\times 2$ ✓ — la trace et le déterminant sont invariants par similitude.

Ce que l'exercice installe. Changer de base, ce n'est pas changer d'application : c'est changer de point de vue jusqu'à ce que l'application devienne lisible. Dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$, $u$ ne mélange plus rien : il dilate deux directions indépendantes. Les vecteurs $f_1,f_2$ et les scalaires $4,2$ portent un nom qu'on donnera en deuxième année — vecteurs propres et valeurs propres — et toute la réduction des endomorphismes consiste à chercher une telle base.