mathématiques MPSI · Chapitre 13 · Exercice de TD

Le triangle de Pascal est l'exponentielle de la dérivation

Matrices et applications linéaires · A. Matrices d'applications linéaires · niveau 2

Énoncé

On travaille dans $R_{n} [X]$ muni de la base canonique $(1, X, \dots, X^{n})$ . Soit $D : P \mapsto P^{'}$ et $τ : P \mapsto P (X + 1)$ .

1) Écrire la matrice de $D$ . Montrer que $D^{n + 1} = 0$ .

2) À l'aide de la formule de Taylor polynomiale (chapitre 10), montrer que $τ = k = 0 \sum n \frac{D ^{k}}{k !}$ . Écrire la matrice de $τ$ : reconnaître le triangle de Pascal.

3) Justifier sans calcul que $τ$ est inversible, donner $τ^{- 1}$ , et montrer que $τ^{- 1} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k} D ^{k}}{k !}$ . Quelle identité sur les coefficients binomiaux le produit $Mat (τ) Mat (τ^{- 1}) = I$ exprime-t-il ?

4) Montrer que $id - D$ est inversible d'inverse $k = 0 \sum n D^{k}$ . En déduire l'unique solution de $P - P^{'} = Q$ dans $R_{n} [X]$ , et l'expliciter pour $Q = X^{2}$ .

5) Pour $m \in N$ , exprimer $τ^{m}$ et en déduire la matrice de $P \mapsto P (X + m)$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de Taylor polynomiale, exacte : $P (X + h) = k \geq 0 \sum \frac{P ^{(k)} ( X )}{k !} h^{k}$ (somme finie). Le dictionnaire du cours : la matrice d'une composée est le produit des matrices, un endomorphisme est inversible si et seulement si sa matrice l'est. Et l'identité du chapitre 9 : $(I - N) (I + N + \dots + N^{n}) = I - N^{n + 1}$ .

1) La dérivation. $D (1) = 0$ et $D (X^{j}) = j X^{j - 1}$ pour $j \geq 1$ : la colonne $j$ (indexée de $0$ à $n$ ) porte $j$ en ligne $j - 1$ et des zéros ailleurs. La matrice de $D$ a donc pour seuls coefficients non nuls $1, 2, \dots, n$ sur la sur-diagonale. Pour $D^{n + 1} = 0$ : $D$ abaisse le degré d'une unité (ou envoie sur $0$ ), donc $D^{n + 1} (X^{j}) = 0$ pour tout $j \leq n$ , et $D^{n + 1}$ est nul sur une base, donc nul. $D$ est nilpotente, et c'est ce qui va rendre exactes toutes les identités formelles qui suivent.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) À l'aide de la formule de Taylor polynomiale (chapitre 10), montrer que $τ = k = 0 \sum n \frac{D ^{k}}{k !}$ . Écrire la matrice de $τ$ : reconnaître le triangle de Pascal.

Élève

Taylor donne $P (X + 1) = \sum_{k} \frac{P ^{(k)} ( X )}{k !}$ . Mais l'énoncé demande une égalité entre applications linéaires, avec une somme qui s'arrête à $n$ : n'ai-je pas seulement montré quelque chose polynôme par polynôme ?

Deux applications sont égales quand elles coïncident en tout $P$ : c'est exactement ce que tu as, à condition de voir $P^{(k)}$ comme l'image de $P$ par une application. Laquelle ? Et pourquoi la borne $n$ convient-elle pour tout $P$ de $R_{n} [X]$ ?

Élève

$P^{(k)} = D^{k} (P)$ , et les termes d'indice $k > n$ sont nuls puisque $de g P \leq n$ , ce qui revient à $D^{n + 1} = 0$ . Pour la matrice, je vais calculer l'image de chaque $X^{j}$ .

Plutôt que d'appliquer la somme de dérivées à $X^{j}$ , peux-tu développer directement $(X + 1)^{j}$ ? Quels coefficients obtiens-tu, à quelles lignes de la colonne $j$ se placent-ils, et que reconnais-tu en lisant les colonnes successives ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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