Groupe symétrique et déterminants

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 14 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une permutation de cinq éléments : chaque élément du haut est relié à son image en bas.

14.1 Introduction et motivation

Comment décider d'un coup d'œil qu'une famille de $n$ vecteurs est une base ? Comment mesurer l'effet d'un endomorphisme sur les aires et les volumes ? La réponse tient en un seul nombre : le déterminant. Sa construction repose sur la notion de forme $n$ -linéaire alternée, motivée par la géométrie des aires et volumes algébriques (orientés), et exige un détour par le groupe symétrique $S_{n}$ — introduit ici en vue des déterminants, mais aussi pour son intérêt propre : les permutations interviennent dans toute l'algèbre et les probabilités (mélanges de cartes, tris, dénombrement).

14.2 Le groupe symétrique

14.2.1 Permutations, cycles, transpositions

Définition 14.1Le groupe

S_{n}

Le groupe symétrique $S_{n}$ est le groupe des permutations de ${1, 2, \dots, n}$ (bijections de cet ensemble sur lui-même), muni de la composition (chapitre 8). Il est de cardinal $n!$ , non abélien dès $n \geq 3$ . On note une permutation sur deux lignes :

$σ = (1 σ (1) 2 σ (2) \dots \dots n σ (n)) .$

Définition 14.2Cycles et transpositions

Soient $a_{1}, \dots, a_{p}$ des éléments distincts de ${1, \dots, n}$ ( $p \geq 2$ ). Le cycle $(a_{1} a_{2} \dots a_{p})$ est la permutation qui envoie $a_{1} \mapsto a_{2} \mapsto \dots \mapsto a_{p} \mapsto a_{1}$ et fixe tout le reste ; $p$ est sa longueur, ${a_{1}, \dots, a_{p}}$ son support. Un cycle de longueur $2$ est une transposition : $(a b)$ échange $a$ et $b$ .

◆Théorème 14.3Décomposition en cycles à supports disjoints

Toute permutation de $S_{n}$ se décompose en produit de cycles à supports disjoints. Cette décomposition existe, est unique à l'ordre des facteurs près, et les cycles à supports disjoints commutent. (La démonstration n'est pas exigible — mais la pratique de la décomposition l'est !)

ImportantMéthode : décomposer une permutation

On suit les orbites : on part de $1$ , on itère $σ$ jusqu'à revenir à $1$ — premier cycle ; on repart du plus petit élément non encore visité, etc. Exemple dans $S_{6}$ :

$σ = (132534415266) : 1 \to 3 \to 4 \to 1 et 2 \to 5 \to 2, 6 fixe,$

$d’o u ˋ σ = (134) (25) .$

14.2.2 Signature

Proposition 14.4Décomposition en transpositions

Toute permutation est un produit de transpositions : il suffit de décomposer chaque cycle,

$(a_{1} a_{2} \dots a_{p}) = (a_{1} a_{p}) (a_{1} a_{p - 1}) \dots (a_{1} a_{2}) (p - 1 transpositions) .$

La décomposition n'est pas unique — mais la parité du nombre de transpositions l'est, comme l'exprime le théorème suivant.

◆Théorème 14.5Signature

Il existe un unique morphisme de groupes $ε : S_{n} \to {- 1, 1}$ envoyant toute transposition sur $- 1$ : c'est la signature. (Démonstration non exigible.) Conséquences pratiques :

$ε (σ τ) = ε (σ) ε (τ), ε ((a_{1} \dots a_{p})) = (- 1)^{p - 1},$

et $ε (σ) = (- 1)^{k}$ si $σ$ est produit de $k$ transpositions (quelle que soit la décomposition choisie). Une permutation est paire si $ε (σ) = 1$ , impaire sinon.

Exemple 14.6

Pour $σ = (134) (25)$ ci-dessus : $ε (σ) = (- 1)^{3 - 1} \times (- 1)^{2 - 1} = 1 \times (- 1) = - 1$ : impaire.

14.3 Formes $n$ -linéaires alternées

iRemarqueLa motivation géométrique

L'aire algébrique du parallélogramme construit sur deux vecteurs $u, v$ du plan a trois propriétés caractéristiques : elle est linéaire en chaque vecteur (doubler $u$ double l'aire ; concaténer deux parallélogrammes additionne les aires), elle est nulle si $u = v$ (parallélogramme aplati), et elle est orientée : échanger $u$ et $v$ change son signe. Le déterminant axiomatise exactement ces propriétés, en toute dimension.

Définition 14.7Forme

n

-linéaire alternée

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension $n$ . Une application $f : E^{n} \to K$ est une forme $n$ -linéaire alternée si :

elle est linéaire par rapport à chacune de ses $n$ variables (les autres étant fixées) ;
elle est alternée : $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0$ dès que deux des vecteurs sont égaux.

Proposition 14.8Antisymétrie et permutations

Soit $f$ une forme $n$ -linéaire alternée.

Antisymétrie : échanger deux vecteurs change le signe de $f$ .
Effet d'une permutation : $f (x_{σ (1)}, \dots, x_{σ (n)}) = ε (σ) f (x_{1}, \dots, x_{n})$ — c'est ici que la signature entre en scène.
Si la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est liée, alors $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0$ .

Démonstration

Antisymétrie : développons $0 = f (\dots, x + y, \dots, x + y, \dots)$ par bilinéarité en les deux positions concernées : les termes $f (\dots x \dots x \dots)$ et $f (\dots y \dots y \dots)$ sont nuls, il reste $f (\dots x \dots y \dots) + f (\dots y \dots x \dots) = 0$ . L'effet d'une permutation s'en déduit en décomposant $σ$ en transpositions. Famille liée : l'un des vecteurs est combinaison des autres ; en développant par linéarité, chaque terme contient deux vecteurs égaux, donc s'annule.

14.4 Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

◆Théorème 14.9Existence et unicité

Soit $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Il existe une unique forme $n$ -linéaire alternée $f$ telle que $f (e_{1}, \dots, e_{n}) = 1$ : on la note $det_{e}$ . De plus, toute forme $n$ -linéaire alternée sur $E$ est un multiple de $det_{e}$ . (L'existence n'est pas exigible ; l'unicité résulte du calcul ci-dessous.)

Proposition 14.10Expression en coordonnées

Si $x_{j} = \sum_{i} a_{i, j} e_{i}$ pour $1 \leq j \leq n$ , alors :

$e det (x_{1}, \dots, x_{n}) = σ \in S_{n} \sum ε (σ) a_{σ (1), 1} a_{σ (2), 2} \dots a_{σ (n), n} .$

Démonstration (Principe)

On développe $det_{e} (x_{1}, \dots, x_{n})$ par $n$ -linéarité : il vient une somme de termes $a_{i_{1}, 1} \dots a_{i_{n}, n} det_{e} (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{n}})$ . Le caractère alterné annule tous les termes où deux indices coïncident ; restent les $(i_{1}, \dots, i_{n}) = (σ (1), \dots, σ (n))$ pour $σ \in S_{n}$ , et $det_{e} (e_{σ (1)}, \dots, e_{σ (n)}) = ε (σ)$ . D'où la formule — qui prouve aussi l'unicité.

Exercices du chapitre

Conjuguer un cycle corrigé
Le groupe alterné corrigé
Le déterminant de $I_{n} + t A$ et la trace corrigé
Une famille cyclique : base si et seulement si $n$ est impair corrigé
Projecteurs, symétries, nilpotents : l'équation, puis la base adaptée corrigé
Les matrices antisymétriques et la parité de la dimension corrigé

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