Groupe symétrique et déterminants

Toute permutation de ${\mathcal{S}}_n$ se décompose en produit de cycles à supports disjoints. Cette décomposition existe, est unique à l'ordre des facteurs près, et les cycles à supports disjoints commutent. (La démonstration n'est pas exigible — mais la pratique de la décomposition l'est !)

Toute permutation est un produit de transpositions : il suffit de décomposer chaque cycle,

$$(a_1{a}_2\dots a_p)=(a_1{a}_p)(a_1{a}_{p-1})\cdots (a_1{a}_2)(p-1\text{ transpositions}).$$

La décomposition n'est pas unique — mais la parité du nombre de transpositions l'est, comme l'exprime le théorème suivant.

Il existe un unique morphisme de groupes $\epsilon :{\mathcal{S}}_n\to \{-1,1\}$ envoyant toute transposition sur $-1$ : c'est la signature. (Démonstration non exigible.) Conséquences pratiques :

$$\epsilon (\sigma \tau )=\epsilon (\sigma )\epsilon (\tau ),\epsilon ((a_1\dots a_p))=(-1{)}^{p-1},$$

et $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^k$ si $\sigma$ est produit de $k$ transpositions (quelle que soit la décomposition choisie). Une permutation est paire si $\epsilon (\sigma )=1$, impaire sinon.

Pour $\sigma =(134)(25)$ ci-dessus : $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{3-1}\times (-1{)}^{2-1}=1\times (-1)=-1$ : impaire.

L'aire algébrique du parallélogramme construit sur deux vecteurs $u,v$ du plan a trois propriétés caractéristiques : elle est linéaire en chaque vecteur (doubler $u$ double l'aire ; concaténer deux parallélogrammes additionne les aires), elle est nulle si $u=v$ (parallélogramme aplati), et elle est orientée : échanger $u$ et $v$ change son signe. Le déterminant axiomatise exactement ces propriétés, en toute dimension.

Soit $f$ une forme $n$-linéaire alternée.

• Antisymétrie : échanger deux vecteurs change le signe de $f$.
• Effet d'une permutation : $f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\epsilon (\sigma )f(x_1,\dots ,x_n)$ — c'est ici que la signature entre en scène.
• Si la famille $(x_1,\dots ,x_n)$ est liée, alors $f(x_1,\dots ,x_n)=0$.

Soit $e=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$. Il existe une unique forme $n$-linéaire alternée $f$ telle que $f(e_1,\dots ,e_n)=1$ : on la note ${\det }_e$. De plus, toute forme $n$-linéaire alternée sur $E$ est un multiple de ${\det }_e$. (L'existence n'est pas exigible ; l'unicité résulte du calcul ci-dessous.)

Si $x_j={\sum }_i{a}_{i,j}{e}_i$ pour $1\le j\le n$, alors :

$$\underset{e}{\det }(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{\sigma \in {\mathcal{S}}_n}\epsilon (\sigma )a_{\sigma (1),1}{a}_{\sigma (2),2}\cdots a_{\sigma (n),n}.$$

$$\det \left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)=ad-bc(2\text{ permutations}),$$

$$\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)=a_1{b}_2{c}_3+b_1{c}_2{a}_3+c_1{a}_2{b}_3-a_3{b}_2{c}_1-b_3{c}_2{a}_1-c_3{a}_2{b}_1$$

($6$ permutations — c'est la règle de Sarrus, valable uniquement en dimension $3$). Dans ${\mathbb{R}}^2$ (resp. ${\mathbb{R}}^3$) muni de la base canonique, $\det (u,v)$ est l'aire orientée du parallélogramme (resp. $\det (u,v,w)$ le volume orienté du parallélépipède) construit sur les vecteurs.

• Si $e$ et $e^{\prime }$ sont deux bases : ${\det }_{e^{\prime }}={\det }_{e^{\prime }}(e){\det }_e$ (toute forme alternée est multiple de ${\det }_e$), avec en particulier ${\det }_e(e^{\prime }){\det }_{e^{\prime }}(e)=1$.
• La famille $(x_1,\dots ,x_n)$ est une base si et seulement si ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)\ne 0$.

$$\det (v\circ u)=\det (v)\det (u),$$

$$u\in \mathrm{GL}(E)⟺\det (u)\ne 0,\text{et alors }\det \left(u^{-1}\right)=\frac{1}{\det u}.$$

• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$   et   $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det (A)$ ($n$-linéarité : $\lambda$ sort de chaque colonne !) ;
• $A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺\det A\ne 0$, et $\det$ induit un morphisme de groupes de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ (resp. $\mathrm{GL}(E)$) sur ${\mathbb{K}}^{\ast }$ ;
• $\boxed{\det \left(A^{\top }\right)=\det (A)}$ : le déterminant est donc aussi $n$-linéaire alterné par rapport aux lignes — tout ce qui vaut pour les colonnes vaut pour les lignes.

• $C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$ (transvection) : déterminant inchangé ;
• $C_i\leftrightarrow C_j$ (échange) : déterminant multiplié par $-1$ ;
• $C_i\leftarrow \lambda C_i$ (dilatation) : déterminant multiplié par $\lambda$ ;

et de même pour les lignes. Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux — d'où la stratégie : échelonner en comptabilisant les opérations.

Pour $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$ :

$$V(a_1,\dots ,a_n)=\det \left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& \cdots & a_n^2\\ ⋮& & & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right)=\prod _{1\le i<j\le n}(a_j-a_i).$$

Il est non nul si et seulement si les $a_i$ sont deux à deux distincts — c'est exactement la condition d'existence et d'unicité de l'interpolation de Lagrange (chapitre 10) : le système des $P(a_i)=y_i$, d'inconnues les coefficients de $P$, a pour matrice la transposée de Vandermonde.

$$A\mathrm{Com}(A{)}^{\top }=\mathrm{Com}(A{)}^{\top }A=\det (A)I_n.$$

En particulier, si $A$ est inversible :

$$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{Com}(A{)}^{\top }.}$$

Pour $n=2$, on retrouve la formule du chapitre 9 : ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Le coefficient $(i,i)$ de $A\mathrm{Com}(A{)}^{\top }$ est le développement de $\det A$ le long de la ligne $i$ ; les coefficients $(i,k)$, $i\ne k$, sont des développements de déterminants à deux lignes égales, donc nuls. La formule de l'inverse est précieuse en théorie (elle montre par exemple que l'inverse d'une matrice à coefficients entiers de déterminant $\pm 1$ est à coefficients entiers) ; pour le calcul effectif, Gauss-Jordan (chapitre 9) reste plus économique dès $n\ge 3$.

Décomposer en cycles à supports disjoints, puis donner la signature de :

$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 6& 3& 5& 1& 7& 2\end{array}\right).$$

Calculer $\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$.

Calculer $\det A$ pour $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$, et retrouver une propriété vue au chapitre 9.

La famille $((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))$ est-elle une base de ${\mathbb{R}}^3$ ? Et $((1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1))$ ?

Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ avec $\det A=2$ et $\det B=-3$. Calculer $\det (AB)$, $\det (2A)$, $\det \left(A^{-1}{B}^2\right)$, $\det \left(A^{\top }\right)$, et $\det (-B)$.

Calculer $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$ et retrouver la discussion du rang menée au chapitre 13.

Calculer l'aire du triangle de sommets $A(1,1)$, $B(4,2)$ et $C(2,5)$.

Démontrer que $V(a,b,c)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b)$, et en déduire l'unicité du polynôme de degré $\le 2$ prenant des valeurs données en trois points distincts.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ (déterminant $4$, exercice 2). Calculer $\mathrm{Com}(A)$ et en déduire $A^{-1}$.

Soit $u(x,y)=(2x+y,x+y)$. Calculer $\det u$ et en déduire l'aire de l'image par $u$ du disque unité. Que dire d'une rotation ? d'une symétrie ?

• ${\mathcal{S}}_n$ : groupe des permutations, cardinal $n!$ ; cycles $(a_1\dots a_p)$, transpositions ; décomposition en cycles à supports disjoints (unique, commutative — savoir la faire en suivant les orbites) ; décomposition en transpositions ; signature : unique morphisme ${\mathcal{S}}_n\to \{\pm 1\}$ avec $\epsilon (\text{transposition})=-1$ ; $\epsilon (p\text{-cycle})=(-1{)}^{p-1}$.
• Formes $n$-linéaires alternées : motivées par aires/volumes orientés ; antisymétrie, $f(x_{\sigma })=\epsilon (\sigma )f(x)$, famille liée $\Rightarrow f=0$.
• ${\det }_e$ : unique forme alternée valant $1$ sur $e$ ; toute forme alternée lui est proportionnelle ; formule ${\sum }_{\sigma }\epsilon (\sigma )\prod a_{\sigma (i),i}$ ; $ad-bc$, Sarrus (dimension 3 seulement !) ; aire/volume orientés ; ${\det }_{e^{\prime }}={\det }_{e^{\prime }}(e){\det }_e$ ; base $⟺{\det }_e\ne 0$.
• Endomorphismes : $\det u$ indépendant de la base $=$ facteur de multiplication des volumes ; $\det (vu)=\det v\det u$ ; $u\in \mathrm{GL}(E)⟺\det u\ne 0$.
• Matrices : $n$-linéaire alterné en colonnes et en lignes ($\det A^{\top }=\det A$) ; $\det (AB)=\det A\det B$ ; $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A$ ; morphisme ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})\to {\mathbb{K}}^{\ast }$.
• Calcul : transvections (inchangé), échanges ($\times (-1)$), dilatations ($\times \lambda$) ; triangulaire $=$ produit diagonal ; cofacteurs ${\Delta }_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\det A_{i,j}$, développement ligne/colonne (viser les zéros) ; Vandermonde $={\prod }_{i<j}(a_j-a_i)$ (lien Lagrange).
• Comatrice : $A\mathrm{Com}(A{)}^{\top }=\det (A)I_n$ ; $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{Com}(A{)}^{\top }$ (retrouve le $2\times 2$ ; entière si $\det =\pm 1$).