Espaces préhilbertiens réels

Cours complet · mathématiques MPSI, chapitre 15 · MPSI (classe préparatoire scientifique)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>15.1 Introduction et motivation

Le produit scalaire du lycée mesurait angles et longueurs dans le plan et l'espace. Ce chapitre le généralise à des espaces vectoriels quelconques — y compris des espaces de fonctions ou de polynômes — afin d'exploiter l'intuition acquise en dimension $2$ ou $3$ pour résoudre des problèmes abstraits : qu'est-ce que l'angle entre deux fonctions ? la distance d'un polynôme à un sous-espace ? la meilleure approximation d'une courbe par une droite ?

La géométrie reste le guide : il est essentiel d'illustrer chaque notion par des figures — orthogonalité, Pythagore, projections —, et les familles de polynômes orthogonaux (Legendre en tête) fourniront les illustrations les plus fécondes, jusqu'aux moindres carrés du calcul scientifique.

15.2 Produit scalaire

Définition 15.1Produit scalaire

Un produit scalaire sur un $R$ -espace vectoriel $E$ est une application $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : E \times E \to R$ (notée aussi $(x ∣ y)$ ou $x \cdot y$ ) qui est :

bilinéaire (linéaire en chaque variable),
symétrique : $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ ,
définie positive : $⟨ x, x ⟩ \geq 0$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

Un espace muni d'un produit scalaire est un espace préhilbertien réel ; s'il est de dimension finie, on dit espace euclidien.

Exemple 15.2Les trois produits scalaires de référence

Canonique sur $R^{n}$ : $⟨ x, y ⟩ = x_{1} y_{1} + \dots + x_{n} y_{n} = X^{⊤} Y$ (en colonnes) — celui du lycée pour $n = 2, 3$ .
Sur $M_{n, p} (R)$ : $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B) = \sum_{i, j} a_{i, j} b_{i, j}$ — le canonique sur les $n p$ coefficients ; le caractère défini positif est exactement $tr (A^{⊤} A) = \sum a_{i, j}^{2} > 0$ si $A \neq = 0$ (chapitre 13, exercice 35).
Intégral sur $C ([a, b], R)$ : $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t$ . Bilinéarité et symétrie sont claires ; le caractère défini est le théorème du chapitre 16 : $f$ continue positive d'intégrale nulle est nulle — la continuité est ici essentielle. Variantes sur $R [X]$ : $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P Q$ , $\int_{0}^{1} P Q$ , etc.

15.3 Norme associée à un produit scalaire

Définition 15.3Norme et distance

La norme associée au produit scalaire est $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ , et la distance entre deux vecteurs est $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ . (Sur $R^{n}$ canonique : la longueur usuelle.)

◆Théorème 15.4Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous $x, y \in E$ :

$∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ ∥ y ∥,$

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration

Si $y = 0$ , tout est nul. Sinon, le trinôme $λ \mapsto ∥ x + λ y ∥^{2} = ∥ y ∥^{2} λ^{2} + 2 λ ⟨ x, y ⟩ + ∥ x ∥^{2}$ est positif ou nul pour tout $λ$ : son discriminant est négatif ou nul, soit $4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} \leq 0$ . L'égalité force un discriminant nul, donc une racine double $λ_{0}$ avec $∥ x + λ_{0} y ∥ = 0$ , c'est-à-dire $x = - λ_{0} y$ . (C'est le même trinôme qu'aux chapitres 2, 16 et 19 : Cauchy-Schwarz algébrique, intégral et probabiliste sont un seul théorème, énoncé ici dans sa généralité définitive.)

Exemple 15.5

Sur $R^{n}$ : $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})$ . Sur $C ([a, b])$ : $(\int_{a}^{b} f g)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} \cdot \int_{a}^{b} g^{2}$ .

◆Théorème 15.6Propriétés de la norme

$∥ x ∥ \geq 0$ avec égalité ssi $x = 0$ ; $∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥$ ;
Inégalité triangulaire : $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ , avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires de même sens ( $y = 0$ ou $x = λ y$ , $λ \geq 0$ ) ;
Identité remarquable : $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩$ , d'où la formule de polarisation :

$⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2})$

— la norme détermine le produit scalaire : longueurs et angles se codent mutuellement.

Démonstration (Démonstration de l'inégalité triangulaire)

$∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ \leq ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2∥ x ∥∥ y ∥ = (∥ x ∥ + ∥ y ∥)^{2}$ par Cauchy-Schwarz ; l'égalité exige $⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥∥ y ∥$ , cas d'égalité positif de Cauchy-Schwarz.

15.4 Orthogonalité

Définition 15.7Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si $⟨ x, y ⟩ = 0$ , noté $x ⊥ y$ . L'orthogonal d'une partie $X \subset E$ est

$X^{⊥} = {y \in E : \forall x \in X, ⟨ x, y ⟩ = 0} :$

c'est toujours un sous-espace vectoriel de $E$ (stabilité par combinaisons linéaires, grâce à la bilinéarité), et $X^{⊥} = Vect (X)^{⊥}$ .

Définition 15.8Familles orthogonales, orthonormées

Une famille $(x_{i})$ est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, orthonormée (ou orthonormale) si de plus chaque vecteur est unitaire : $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = δ_{i, j}$ (le symbole de Kronecker du chapitre 9).

◆Théorème 15.9Liberté et Pythagore

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Théorème de Pythagore : $x ⊥ y ⟺ ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$ (équivalence, dans le cas réel) ; pour une famille orthogonale : $∥ \sum x_{i} ∥^{2} = \sum ∥ x_{i} ∥^{2}$ .

Démonstration

Si $\sum λ_{i} x_{i} = 0$ , le produit scalaire avec $x_{j}$ donne $λ_{j} ∥ x_{j} ∥^{2} = 0$ (tous les autres termes s'annulent par orthogonalité), donc $λ_{j} = 0$ . Pythagore : cas $⟨ x, y ⟩ = 0$ de l'identité remarquable.

◆Théorème 15.10Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit $(v_{1}, \dots, v_{p})$ une famille libre d'un espace préhilbertien. L'algorithme suivant produit une famille orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ telle que $Vect (e_{1}, \dots, e_{k}) = Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$ pour tout $k$ :

$u_{1} = v_{1}, u_{k} = v_{k} - i = 1 \sum k - 1 \frac{⟨ v _{k} , u _{i} ⟩}{∥ u _{i} ∥ ^{2}} u_{i}$

(on retranche les projections sur les directions déjà construites), puis on normalise : $e_{k} = \frac{u _{k}}{∥ u _{k} ∥}$ . (Chaque $u_{k}$ est non nul car $v_{k} \in / Vect (v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ : la liberté est préservée à chaque étape.)

15.5 Bases orthonormées

◆Théorème 15.11Existence et complétion

Soit $E$ un espace euclidien (dimension finie $n$ ).

$E$ possède des bases orthonormées (appliquer Gram-Schmidt à n'importe quelle base).
Théorème de la base orthonormée incomplète : toute famille orthonormée se complète en une base orthonormée de $E$ .

◆Théorème 15.12Tout devient canonique en base orthonormée

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ . Pour tous $x, y \in E$ :

$x = i = 1 \sum n ⟨ e_{i}, x ⟩ e_{i} (les coordonn e ˊ es sont les produits scalaires !),$

$⟨ x, y ⟩ = i = 1 \sum n x_{i} y_{i}, ∥ x ∥^{2} = i = 1 \sum n x_{i}^{2} .$

Autrement dit : dans une base orthonormée, tout espace euclidien ressemble exactement à $R^{n}$ canonique. (Dans une base quelconque, aucune de ces formules ne subsiste — d'où le prix de l'orthonormalisation.)

Démonstration

Si $x = \sum x_{j} e_{j}$ , alors $⟨ e_{i}, x ⟩ = \sum_{j} x_{j} ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = x_{i}$ par orthonormalité. Les deux autres formules se développent de même par bilinéarité.

15.6 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

◆Théorème 15.13Supplémentaire orthogonal

Soit $F$ un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$ . Alors :

$E = F \oplus F^{⊥} .$

La projection sur $F$ parallèlement à $F^{⊥}$ est la projection orthogonale sur $F$ , notée $p_{F}$ , et si $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base orthonormée de $F$ :

$p_{F} (x) = i = 1 \sum p ⟨ e_{i}, x ⟩ e_{i} .$

En dimension finie $n$ : $dim F^{⊥} = n - dim F$ , et un hyperplan $H$ est l'orthogonal d'une droite, $H = Vect (u)^{⊥}$ — $u$ est un vecteur normal à $H$ .

Démonstration

Posons $p (x) = \sum ⟨ e_{i}, x ⟩ e_{i} \in F$ . Alors $x - p (x)$ est orthogonal à chaque $e_{i}$ (calcul direct : $⟨ e_{i}, x - p (x)⟩ = ⟨ e_{i}, x ⟩ - ⟨ e_{i}, x ⟩ = 0$ ), donc à $F$ : tout vecteur se décompose en $p (x) + (x - p (x)) \in F + F^{⊥}$ . Et $F \cap F^{⊥} = {0}$ car $x \in F \cap F^{⊥}$ implique $⟨ x, x ⟩ = 0$ . D'où la somme directe, et $p = p_{F}$ .

◆Théorème 15.14Distance à un sous-espace

Soit $F$ de dimension finie et $x \in E$ . Le projeté orthogonal $p_{F} (x)$ est l'unique élément de $F$ qui réalise la distance de $x$ à $F$ :

$d (x, F) = f \in F min ∥ x - f ∥ = ∥ x - p_{F} (x) ∥,$

et pour tout autre $f \in F$ , $∥ x - f ∥ > d (x, F)$ .

Démonstration

Pour $f \in F$ : $x - f = \in F^{⊥} (x - p_{F} (x)) + \in F (p_{F} (x) - f)$ , deux vecteurs orthogonaux. Pythagore :

$∥ x - f ∥^{2} = ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ p_{F} (x) - f ∥^{2} \geq ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2},$

avec égalité si et seulement si $f = p_{F} (x)$ . (La perpendiculaire est le plus court chemin — le dessin du collège, devenu théorème général.)

Proposition 15.15Projection sur un hyperplan, distance

Soit $u \neq = 0$ et $H = Vect (u)^{⊥}$ l'hyperplan normal à $u$ (en dimension finie). Pour tout $x$ :

$p_{H} (x) = x - \frac{⟨ u , x ⟩}{∥ u ∥ ^{2}} u, d (x, H) = \frac{∣ ⟨ u , x ⟩ ∣}{∥ u ∥} .$

(On projette d'abord sur la droite $Vect (u)$ — c'est le terme retranché — puis on prend le reste ; la distance au plan $a x + b y + cz = 0$ de $R^{3}$ redonne la formule $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ du lycée.)

iRemarquePolynômes orthogonaux et moindres carrés

Sur $C ([a, b])$ ou $R [X]$ muni d'un produit scalaire intégral, Gram-Schmidt appliqué à $(1, X, X^{2}, \dots)$ produit les familles de polynômes orthogonaux (Legendre pour $\int_{- 1}^{1}$ , exercice 8). Projeter une fonction sur $R_{n} [X]$ , c'est calculer sa meilleure approximation polynomiale au sens des moindres carrés (exercice 9) — le principe de toute l'approximation hilbertienne : séries de Fourier, régression, compression du signal.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>15.7 Exercices résolus

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Exercice 1 : Produit scalaire ou pas ?

Les applications suivantes sont-elles des produits scalaires sur $R^{2}$ ?

$φ (x, y) = 2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}, ψ (x, y) = x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2},$

$χ (x, y) = x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 2 x_{2} y_{2} .$

Démonstration (Solution)

Les trois sont bilinéaires symétriques (coefficients symétriques). Caractère défini positif :

$φ$ : $φ (x, x) = 2 x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 0$ si $x \neq = 0$ : oui.

$ψ$ : $ψ (x, x) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2}$ , qui est négatif pour $x = (0, 1)$ : non.

$χ$ : $χ (x, x) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{2}^{2} > 0$ si $x \neq = 0$ (forme canonique, chapitre 2 !) : oui.

Exercice 2 : Cauchy-Schwarz en action

Montrer que pour tous réels $a, b, c$ : $(a + b + c)^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ , et préciser le cas d'égalité.

Démonstration (Solution)

Cauchy-Schwarz dans $R^{3}$ canonique avec $x = (1, 1, 1)$ et $y = (a, b, c)$ :

$(a + b + c)^{2} = ⟨ x, y ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}),$

avec égalité si et seulement si $y$ est colinéaire à $(1, 1, 1)$ , c'est-à-dire $a = b = c$ . (Tout l'art est dans le choix du vecteur auxiliaire $(1, 1, 1)$ — la méthode produit des dizaines d'inégalités, voir la banque.)

Exercice 3 : Vérifier, normaliser

Dans $R^{3}$ canonique, vérifier que $v_{1} = (1, 2, 2)$ et $v_{2} = (2, 1, - 2)$ sont orthogonaux, et compléter $(\frac{v _{1}}{∥ v _{1} ∥}, \frac{v _{2}}{∥ v _{2} ∥})$ en une base orthonormée.

Démonstration (Solution)

$⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = 2 + 2 - 4 = 0$ : orthogonaux. $∥ v_{1} ∥ = ∥ v_{2} ∥ = 3$ , d'où $e_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$ , $e_{2} = \frac{1}{3} (2, 1, - 2)$ .

Un troisième vecteur orthogonal aux deux : on cherche $(x, y, z)$ avec $x + 2 y + 2 z = 0$ et $2 x + y - 2 z = 0$ ; en résolvant (pivot), $v_{3} = (2, - 2, 1)$ convient ( $2 + (- 4) + 2 = 0$ ✓, $4 - 2 - 2 = 0$ ✓), et $∥ v_{3} ∥ = 3$ :

$e_{3} = \frac{1}{3} (2, - 2, 1), (e_{1}, e_{2}, e_{3}) base orthonorm e ˊ e de R^{3} .$

(Famille orthogonale de vecteurs non nuls : libre ; trois vecteurs en dimension 3 : base — les chapitres 12 et 15 travaillent main dans la main.)

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Exercice 4 : Gram-Schmidt complet

Orthonormaliser la base $((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1))$ de $R^{3}$ canonique.

Démonstration (Solution)

Étape 1 : $u_{1} = (1, 1, 0)$ , $∥ u_{1} ∥^{2} = 2$ .

Étape 2 : $u_{2} = (1, 0, 1) - \frac{⟨( 1 , 0 , 1 ) , u _{1} ⟩}{2} u_{1} = (1, 0, 1) - \frac{1}{2} (1, 1, 0) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)$ , $∥ u_{2} ∥^{2} = \frac{3}{2}$ .

Étape 3 : avec $⟨(0, 1, 1), u_{1} ⟩ = 1$ et $⟨(0, 1, 1), u_{2} ⟩ = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ :

$u_{3} = (0, 1, 1) - \frac{1}{2} (1, 1, 0) - \frac{1/2}{3/2} (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1) = (- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) .$

(Contrôles : $⟨ u_{3}, u_{1} ⟩ = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0$ ✓, $⟨ u_{3}, u_{2} ⟩ = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 0$ ✓.) En normalisant :

$e_{1} = \frac{1}{2} (1, 1, 0), e_{2} = \frac{1}{6} (1, - 1, 2), e_{3} = \frac{1}{3} (- 1, 1, 1) .$

Exercice 5 : L'orthogonal d'une droite

Dans $R^{3}$ canonique, déterminer $F^{⊥}$ pour $F = Vect ((1, 1, 1))$ , et reconnaître une décomposition étudiée au chapitre 12.

Démonstration (Solution)

$(x, y, z) ⊥ (1, 1, 1)$ signifie $x + y + z = 0$ :

$F^{⊥} = {(x, y, z) : x + y + z = 0}$

— le plan du chapitre 12 (exercice 5) ! La décomposition $R^{3} = F \oplus F^{⊥}$ y était une somme directe parmi d'autres ; elle est en réalité orthogonale : le supplémentaire $F^{⊥}$ est le supplémentaire canonique, celui qui minimise les distances. Le vecteur $(1, 1, 1)$ est normal au plan.

Exercice 6 : Projection sur une droite

Calculer le projeté orthogonal de $x = (1, 2, 3)$ sur $D = Vect ((1, 1, 1))$ , et la distance $d (x, D)$ .

Démonstration (Solution)

Avec $u = (1, 1, 1)$ , $∥ u ∥^{2} = 3$ et $⟨ u, x ⟩ = 6$ :

$p_{D} (x) = \frac{⟨ u , x ⟩}{∥ u ∥ ^{2}} u = 2 (1, 1, 1) = (2, 2, 2), x - p_{D} (x) = (- 1, 0, 1),$

$d (x, D) = ∥ (- 1, 0, 1) ∥ = 2 .$

(Contrôle : $(- 1, 0, 1) ⊥ (1, 1, 1)$ ✓. C'est la décomposition $(1, 2, 3) = (- 1, 0, 1) + (2, 2, 2)$ du chapitre 12, exercice 5 — le projecteur « moyenne des coordonnées » était orthogonal sans le dire.)

Exercice 7 : Distance à un hyperplan

Calculer la distance de $x = (1, 2, 3)$ au plan $H : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ de $R^{3}$ , ainsi que le projeté orthogonal $p_{H} (x)$ .

Démonstration (Solution)

$H = Vect (u)^{⊥}$ avec $u = (1, 1, 1)$ normal. Les formules de l'hyperplan :

$d (x, H) = \frac{∣ ⟨ u , x ⟩ ∣}{∥ u ∥} = \frac{6}{3} = 23,$

$p_{H} (x) = x - \frac{⟨ u , x ⟩}{∥ u ∥ ^{2}} u = (1, 2, 3) - (2, 2, 2) = (- 1, 0, 1) .$

(Cohérence avec l'exercice 6 : projections sur $D$ et sur $H = D^{⊥}$ se complètent, $p_{D} (x) + p_{H} (x) = x$ , et $d (x, D)^{2} + d (x, H)^{2} = 2 + 12 = 14 = ∥ x ∥^{2}$ — Pythagore boucle la boucle.)

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

Exercice 8 : Les polynômes de Legendre

Sur $R_{2} [X]$ muni de $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ , orthogonaliser la base canonique $(1, X, X^{2})$ .

Démonstration (Solution)

$P_{0} = 1$ , avec $∥ P_{0} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} 1 = 2$ .

$P_{1}$ : $⟨ X, 1 ⟩ = \int_{- 1}^{1} t d t = 0$ (imparité, chapitre 16) : $X$ est déjà orthogonal à $1$ , donc $P_{1} = X$ , $∥ P_{1} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} t^{2} = \frac{2}{3}$ .

$P_{2}$ : $⟨ X^{2}, X ⟩ = 0$ (imparité), et $⟨ X^{2}, 1 ⟩ = \frac{2}{3}$ :

$P_{2} = X^{2} - \frac{⟨ X ^{2} , 1 ⟩}{∥1 ∥ ^{2}} 1 - 0 = X^{2} - \frac{1}{3} .$

Ce sont (à normalisation près) les premiers polynômes de Legendre $1$ , $X$ , $X^{2} - \frac{1}{3}$ : la parité a fait la moitié du travail, et la famille continue indéfiniment ( $P_{3} = X^{3} - \frac{3}{5} X$ , banque). Ils sont aux intégrales sur $[- 1, 1]$ ce que la base canonique est à $R^{n}$ — l'outil central des méthodes d'approximation et de quadrature.

Exercice 9 : Meilleure approximation au sens des moindres carrés

Déterminer les réels $a, b$ qui minimisent $\int_{0}^{1} (t^{2} - a t - b)^{2} d t$ , et la valeur du minimum.

Démonstration (Solution)

Dans $C ([0, 1])$ muni de $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f g$ , on cherche la projection orthogonale de $f : t \mapsto t^{2}$ sur $F = R_{1} [X]$ : le minimum de $∥ f - g ∥^{2}$ sur $g \in F$ est atteint en $g = p_{F} (f)$ , caractérisé par $f - g ⊥ F$ , c'est-à-dire orthogonal à $1$ et à $t$ :

$\int_{0}^{1} (t^{2} - a t - b) d t = \frac{1}{3} - \frac{a}{2} - b = 0, \int_{0}^{1} (t^{2} - a t - b) t d t = \frac{1}{4} - \frac{a}{3} - \frac{b}{2} = 0.$

La première donne $b = \frac{1}{3} - \frac{a}{2}$ ; en reportant : $\frac{1}{4} - \frac{a}{3} - \frac{1}{6} + \frac{a}{4} = \frac{1}{12} - \frac{a}{12} = 0$ , d'où

$a = 1, b = - \frac{1}{6} (p_{F} (f) (t) = t - \frac{1}{6}) .$

Minimum : $∥ f - p_{F} (f) ∥^{2} = ⟨ f - p_{F} (f), f ⟩$ (car $f - p_{F} (f) ⊥ p_{F} (f)$ ), soit

$\int_{0}^{1} (t^{2} - t + \frac{1}{6}) t^{2} d t = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} + \frac{1}{18} = \frac{36 - 45 + 10}{180} = \frac{1}{180} .$

La droite $y = t - \frac{1}{6}$ est la meilleure approximation affine de la parabole sur $[0, 1]$ au sens des moindres carrés : c'est le principe de la régression, et de toute l'approximation hilbertienne.

Exercice 10 : La projection contracte

Soit $p_{F}$ la projection orthogonale sur un sous-espace $F$ de dimension finie. Montrer que pour tout $x$ :

$∥ p_{F} (x) ∥ \leq ∥ x ∥,$

avec égalité si et seulement si $x \in F$ . En déduire l'inégalité de Bessel : si $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est orthonormée, $\sum_{i = 1}^{p} ⟨ e_{i}, x ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$ .

Démonstration (Solution)

Pythagore sur la décomposition orthogonale $x = p_{F} (x) + (x - p_{F} (x))$ :

$∥ x ∥^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} \geq ∥ p_{F} (x) ∥^{2},$

avec égalité si et seulement si $x = p_{F} (x)$ , c'est-à-dire $x \in F$ : projeter ne peut que raccourcir.

Pour Bessel : prendre $F = Vect (e_{1}, \dots, e_{p})$ ; alors $p_{F} (x) = \sum ⟨ e_{i}, x ⟩ e_{i}$ et, la famille étant orthonormée, $∥ p_{F} (x) ∥^{2} = \sum ⟨ e_{i}, x ⟩^{2}$ (Pythagore encore). L'inégalité $∥ p_{F} (x) ∥^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$ conclut — avec égalité exactement quand $x \in F$ : les coordonnées orthonormées « épuisent » alors toute la norme (c'est le théorème de la base orthonormée, vu comme cas d'égalité).

Synthèse du chapitre (à retenir)

Produit scalaire : bilinéaire, symétrique, défini positif ; préhilbertien / euclidien (dim. finie) ; références : $X^{⊤} Y$ sur $R^{n}$ , $tr (A^{⊤} B)$ sur $M_{n, p}$ , $\int_{a}^{b} f g$ sur $C ([a, b])$ (défini grâce à « continue positive d'intégrale nulle $\Rightarrow$ nulle », ch. 16).
Norme $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ , distance ; Cauchy-Schwarz $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥∥ y ∥$ (trinôme — 4^e et dernier avatar), égalité $⟺$ colinéaires ; inégalité triangulaire (égalité : colinéaires de même sens) ; $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩$ ; polarisation : la norme code le produit scalaire.
Orthogonalité : $X^{⊥}$ toujours un sous-espace ; famille orthogonale de vecteurs non nuls $\Rightarrow$ libre ; Pythagore ( $⟺$ dans le cas réel ; version sommes) ; Gram-Schmidt : $u_{k} = v_{k} - \sum \frac{⟨ v _{k} , u _{i} ⟩}{∥ u _{i} ∥ ^{2}} u_{i}$ puis normaliser ( $Vect$ conservés à chaque étape).
Bases orthonormées : existence (euclidien), complétion ; et tout devient canonique : $x_{i} = ⟨ e_{i}, x ⟩$ , $⟨ x, y ⟩ = \sum x_{i} y_{i}$ , $∥ x ∥^{2} = \sum x_{i}^{2}$ .
Projection orthogonale ( $F$ de dim. finie) : $E = F \oplus F^{⊥}$ ; $p_{F} (x) = \sum ⟨ e_{i}, x ⟩ e_{i}$ (b.o.n. de $F$ ) ; $dim F^{⊥} = n - dim F$ , hyperplan $=$ $Vect (u)^{⊥}$ (vecteur normal) ; le projeté réalise la distance (unique, par Pythagore) : $d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥$ ; hyperplan : $p_{H} (x) = x - \frac{⟨ u , x ⟩}{∥ u ∥ ^{2}} u$ , $d (x, H) = \frac{∣ ⟨ u , x ⟩ ∣}{∥ u ∥}$ .
Illustrations majeures : polynômes de Legendre ( $1$ , $X$ , $X^{2} - \frac{1}{3}$ , …) par Gram-Schmidt intégral ; moindres carrés $=$ projection (meilleure droite : $min = \frac{1}{180}$ pour $t^{2}$ sur $[0, 1]$ ) ; $∥ p_{F} (x) ∥ \leq ∥ x ∥$ et Bessel $\sum ⟨ e_{i}, x ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$ .

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Espaces préhilbertiens réels

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>15.1 Introduction et motivation

15.2 Produit scalaire

15.3 Norme associée à un produit scalaire

15.4 Orthogonalité

15.5 Bases orthonormées

15.6 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>15.7 Exercices résolus

Niveau ⋆ (Application directe du cours)

Niveau ⋆⋆ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau ⋆⋆⋆ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)