Espaces préhilbertiens réels

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 15 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le projeté orthogonal d'un vecteur sur un plan : la différence est perpendiculaire au plan.

15.1 Introduction et motivation

Le produit scalaire du lycée mesurait angles et longueurs dans le plan et l'espace. Ce chapitre le généralise à des espaces vectoriels quelconques — y compris des espaces de fonctions ou de polynômes — afin d'exploiter l'intuition acquise en dimension $2$ ou $3$ pour résoudre des problèmes abstraits : qu'est-ce que l'angle entre deux fonctions ? la distance d'un polynôme à un sous-espace ? la meilleure approximation d'une courbe par une droite ?

La géométrie reste le guide : il est essentiel d'illustrer chaque notion par des figures — orthogonalité, Pythagore, projections —, et les familles de polynômes orthogonaux (Legendre en tête) fourniront les illustrations les plus fécondes, jusqu'aux moindres carrés du calcul scientifique.

15.2 Produit scalaire

Définition 15.1Produit scalaire

Un produit scalaire sur un $R$ -espace vectoriel $E$ est une application $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : E \times E \to R$ (notée aussi $(x ∣ y)$ ou $x \cdot y$ ) qui est :

bilinéaire (linéaire en chaque variable),
symétrique : $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ ,
définie positive : $⟨ x, x ⟩ \geq 0$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

Un espace muni d'un produit scalaire est un espace préhilbertien réel ; s'il est de dimension finie, on dit espace euclidien.

Exemple 15.2Les trois produits scalaires de référence

Canonique sur $R^{n}$ : $⟨ x, y ⟩ = x_{1} y_{1} + \dots + x_{n} y_{n} = X^{⊤} Y$ (en colonnes) — celui du lycée pour $n = 2, 3$ .
Sur $M_{n, p} (R)$ : $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B) = \sum_{i, j} a_{i, j} b_{i, j}$ — le canonique sur les $n p$ coefficients ; le caractère défini positif est exactement $tr (A^{⊤} A) = \sum a_{i, j}^{2} > 0$ si $A \neq = 0$ (chapitre 13, exercice 35).
Intégral sur $C ([a, b], R)$ : $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t$ . Bilinéarité et symétrie sont claires ; le caractère défini est le théorème du chapitre 16 : $f$ continue positive d'intégrale nulle est nulle — la continuité est ici essentielle. Variantes sur $R [X]$ : $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P Q$ , $\int_{0}^{1} P Q$ , etc.

15.3 Norme associée à un produit scalaire

Définition 15.3Norme et distance

La norme associée au produit scalaire est $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ , et la distance entre deux vecteurs est $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ . (Sur $R^{n}$ canonique : la longueur usuelle.)

◆Théorème 15.4Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous $x, y \in E$ :

$∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ ∥ y ∥,$

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration

Si $y = 0$ , tout est nul. Sinon, le trinôme $λ \mapsto ∥ x + λ y ∥^{2} = ∥ y ∥^{2} λ^{2} + 2 λ ⟨ x, y ⟩ + ∥ x ∥^{2}$ est positif ou nul pour tout $λ$ : son discriminant est négatif ou nul, soit $4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} \leq 0$ . L'égalité force un discriminant nul, donc une racine double $λ_{0}$ avec $∥ x + λ_{0} y ∥ = 0$ , c'est-à-dire $x = - λ_{0} y$ . (C'est le même trinôme qu'aux chapitres 2, 16 et 19 : Cauchy-Schwarz algébrique, intégral et probabiliste sont un seul théorème, énoncé ici dans sa généralité définitive.)

Exemple 15.5

Sur $R^{n}$ : $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})$ . Sur $C ([a, b])$ : $(\int_{a}^{b} f g)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} \cdot \int_{a}^{b} g^{2}$ .

◆Théorème 15.6Propriétés de la norme

$∥ x ∥ \geq 0$ avec égalité ssi $x = 0$ ; $∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥$ ;
Inégalité triangulaire : $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ , avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires de même sens ( $y = 0$ ou $x = λ y$ , $λ \geq 0$ ) ;
Identité remarquable : $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩$ , d'où la formule de polarisation :

$⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2})$

— la norme détermine le produit scalaire : longueurs et angles se codent mutuellement.

Démonstration (Démonstration de l'inégalité triangulaire)

$∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ \leq ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2∥ x ∥∥ y ∥ = (∥ x ∥ + ∥ y ∥)^{2}$ par Cauchy-Schwarz ; l'égalité exige $⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥∥ y ∥$ , cas d'égalité positif de Cauchy-Schwarz.

15.4 Orthogonalité

Définition 15.7Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si $⟨ x, y ⟩ = 0$ , noté $x ⊥ y$ . L'orthogonal d'une partie $X \subset E$ est

$X^{⊥} = {y \in E : \forall x \in X, ⟨ x, y ⟩ = 0} :$

c'est toujours un sous-espace vectoriel de $E$ (stabilité par combinaisons linéaires, grâce à la bilinéarité), et $X^{⊥} = Vect (X)^{⊥}$ .

Définition 15.8Familles orthogonales, orthonormées

Une famille $(x_{i})$ est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, orthonormée (ou orthonormale) si de plus chaque vecteur est unitaire : $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = δ_{i, j}$ (le symbole de Kronecker du chapitre 9).

◆Théorème 15.9Liberté et Pythagore

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Théorème de Pythagore : $x ⊥ y ⟺ ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$ (équivalence, dans le cas réel) ; pour une famille orthogonale : $∥ \sum x_{i} ∥^{2} = \sum ∥ x_{i} ∥^{2}$ .

Démonstration

Si $\sum λ_{i} x_{i} = 0$ , le produit scalaire avec $x_{j}$ donne $λ_{j} ∥ x_{j} ∥^{2} = 0$ (tous les autres termes s'annulent par orthogonalité), donc $λ_{j} = 0$ . Pythagore : cas $⟨ x, y ⟩ = 0$ de l'identité remarquable.

◆Théorème 15.10Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit $(v_{1}, \dots, v_{p})$ une famille libre d'un espace préhilbertien. L'algorithme suivant produit une famille orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ telle que $Vect (e_{1}, \dots, e_{k}) = Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$ pour tout $k$ :

$u_{1} = v_{1}, u_{k} = v_{k} - i = 1 \sum k - 1 \frac{⟨ v _{k} , u _{i} ⟩}{∥ u _{i} ∥ ^{2}} u_{i}$

(on retranche les projections sur les directions déjà construites), puis on normalise : $e_{k} = \frac{u _{k}}{∥ u _{k} ∥}$ . (Chaque $u_{k}$ est non nul car $v_{k} \in / Vect (v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ : la liberté est préservée à chaque étape.)

Exercices du chapitre

Le produit scalaire de Frobenius et l'orthogonalité des symétriques et des antisymétriques corrigé
Cauchy-Schwarz avec les bons vecteurs auxiliaires corrigé
L'identité du parallélogramme comme test corrigé
Le trièdre de Fourier corrigé
L'orthogonal de l'orthogonal, et un hyperplan dont l'orthogonal est nul corrigé
Les polynômes de Legendre et la parité corrigé

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