Intégration

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 16 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous une courbe, approchée par une somme de rectangles.

16.1 Introduction et motivation

Le chapitre 4 a manipulé les intégrales en s'appuyant sur les primitives ; ce chapitre fonde la notion : l'objectif principal est de définir l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment et d'en établir les propriétés principales. C'est l'occasion de revenir sur les techniques de calcul, de traiter des exercices d'esprit plus théorique, et de retrouver la problématique de l'approximation : les sommes de Riemann et la comparaison des méthodes des rectangles et des trapèzes prolongent les vitesses de convergence des chapitres 6 et 11.

La continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l'intégrale — son étude systématique n'est pas un attendu du programme. Le corps $K$ vaut $R$ ou $C$ : tout ce qui suit s'étend aux fonctions à valeurs complexes en travaillant avec parties réelle et imaginaire (sauf, bien sûr, les énoncés de positivité).

16.2 Continuité uniforme

Définition 16.1Continuité uniforme

$f : I \to K$ est uniformément continue sur $I$ si :

$\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x, y \in I, ∣ x - y ∣ \leq δ ⟹ ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq ε .$

La nuance avec la continuité : le $δ$ est le même pour tous les points — il ne dépend que de $ε$ , pas de l'endroit où l'on se trouve.

Exemple 16.2

Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue : si $∣ f (x) - f (y) ∣ \leq K ∣ x - y ∣$ , prendre $δ = ε / K$ (chapitre 6).
$x \mapsto x^{2}$ n'est pas uniformément continue sur $R$ : les points $x_{n} = n$ et $y_{n} = n + \frac{1}{n}$ se rapprochent, mais $y_{n}^{2} - x_{n}^{2} = 2 + \frac{1}{n ^{2}} \geq 2$ — aux grandes abscisses, la pente explose et le $δ$ devrait fondre.

◆Théorème 16.3Théorème de Heine

Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est uniformément continue sur ce segment. (La démonstration — par Bolzano-Weierstrass, chapitre 5 — n'est pas exigible.)

iRemarque

C'est la clef de voûte de la construction de l'intégrale : sur un segment, la continuité se « globalise », et l'on pourra approcher uniformément $f$ par des fonctions en escalier.

16.3 Fonctions continues par morceaux

Définition 16.4Subdivisions, fonctions en escalier

Une subdivision du segment $[a, b]$ est une suite finie $σ = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ avec $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n} = b$ ; son pas est $max_{i} (a_{i + 1} - a_{i})$ . Une fonction $φ : [a, b] \to K$ est en escalier s'il existe une subdivision telle que $φ$ soit constante sur chaque intervalle ouvert $] a_{i}, a_{i + 1} [$ (les valeurs aux points $a_{i}$ sont quelconques).

Définition 16.5Fonctions continues par morceaux

$f : [a, b] \to K$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $(a_{0}, \dots, a_{n})$ telle que, sur chaque $] a_{i}, a_{i + 1} [$ , $f$ soit continue et admette des limites finies aux deux extrémités. Les fonctions continues par morceaux sur $[a, b]$ forment un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de l'ensemble des fonctions de $[a, b]$ dans $K$ (sommes, produits et multiples de continues par morceaux le restent : raffiner les deux subdivisions).

16.4 Intégrale d'une fonction continue par morceaux

◆Théorème 16.6Définition de l'intégrale

À toute fonction $f$ continue par morceaux sur $[a, b]$ , on associe son intégrale

$\int_{[a, b]} f = \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} f (t) d t \in K,$

définie pour les fonctions en escalier par $\sum_{i} (a_{i + 1} - a_{i}) c_{i}$ (somme des aires des rectangles), puis étendue par approximation : grâce au théorème de Heine, $f$ est limite uniforme de fonctions en escalier, et leurs intégrales convergent. (Le programme n'impose aucune construction particulière.) Interprétation géométrique : pour $f$ réelle, $\int_{a}^{b} f$ est l'aire algébrique entre la courbe et l'axe — comptée positivement au-dessus, négativement en dessous.

◆Théorème 16.7Propriétés fondamentales

Pour $f, g$ continues par morceaux sur $[a, b]$ ( $a \leq b$ ) :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ ;
Positivité et croissance (cas réel) : $f \geq 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0$ ; $f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ ;
Inégalité triangulaire intégrale : $\int_{[a, b]} f \leq \int_{[a, b]} ∣ f ∣$ (vraie aussi pour $f$ à valeurs complexes) ;
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f$ .

On étend la notation au cas $b \leq a$ en posant $\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f$ : la linéarité et Chasles subsistent (mais les inégalités exigent des bornes croissantes !).

◆Théorème 16.8Fonction continue positive d'intégrale nulle

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , à valeurs dans $R^{+}$ , et si $\int_{[a, b]} f = 0$ , alors $f = 0$ .

Démonstration

Par contraposée : si $f (x_{0}) = m > 0$ en un point, la continuité fournit un petit segment $[c, d] ∋ x_{0}$ ( $c < d$ ) sur lequel $f \geq \frac{m}{2}$ . Par croissance et Chasles :

$\int_{a}^{b} f \geq \int_{c}^{d} f \geq \frac{m}{2} (d - c) > 0.$

(L'hypothèse de continuité est essentielle : une fonction nulle sauf en un point a une intégrale nulle sans être nulle.)

Proposition 16.9Parité, périodicité, valeur moyenne

Si $f$ est paire : $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$ ; si $f$ est impaire : $\int_{- a}^{a} f = 0$ .
Si $f$ est $T$ -périodique : $\int_{x}^{x + T} f$ ne dépend pas de $x$ (l'intégrale sur une période est invariante par translation).
La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ : la hauteur du rectangle de même aire.

16.5 Sommes de Riemann

◆Théorème 16.10Convergence des sommes de Riemann

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b]$ . Alors :

$\frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}) n \to + \infty \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Interprétation géométrique : la somme est l'aire des $n$ rectangles de base $\frac{b - a}{n}$ s'appuyant sur la courbe (méthode des rectangles à gauche) ; quand le pas tend vers $0$ , les rectangles épousent l'aire sous la courbe.

Démonstration (Démonstration (exigible) pour

f

lipschitzienne)

Soit $K$ une constante de Lipschitz de $f$ , et notons $x_{k} = a + k \frac{b - a}{n}$ . Sur chaque $[x_{k}, x_{k + 1}]$ :

$\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (t) d t - \frac{b - a}{n} f (x_{k}) = \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} (f (t) - f (x_{k})) d t \leq \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} K ∣ t - x_{k} ∣ d t = \frac{K}{2} (\frac{b - a}{n})^{2} .$

En sommant les $n$ morceaux (Chasles + inégalité triangulaire) :

$\int_{a}^{b} f - S_{n} \leq n \cdot \frac{K}{2} (\frac{b - a}{n})^{2} = \frac{K ( b - a ) ^{2}}{2 n} n \to \infty 0.$

Exercices du chapitre

Une fonction uniformément continue croît au plus comme une droite corrigé
Le lemme de Riemann-Lebesgue corrigé
Une intégrale égale à un demi force un point fixe corrigé
Des moments nuls forcent des changements de signe corrigé
Un produit qui tend vers $4/ e$ corrigé
Le terme d'erreur exact de la méthode des rectangles corrigé

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