Intégration

Cours complet · mathématiques MPSI, chapitre 16 · MPSI (classe préparatoire scientifique)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>16.1 Introduction et motivation

Le chapitre 4 a manipulé les intégrales en s'appuyant sur les primitives ; ce chapitre fonde la notion : l'objectif principal est de définir l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment et d'en établir les propriétés principales. C'est l'occasion de revenir sur les techniques de calcul, de traiter des exercices d'esprit plus théorique, et de retrouver la problématique de l'approximation : les sommes de Riemann et la comparaison des méthodes des rectangles et des trapèzes prolongent les vitesses de convergence des chapitres 6 et 11.

La continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l'intégrale — son étude systématique n'est pas un attendu du programme. Le corps $K$ vaut $R$ ou $C$ : tout ce qui suit s'étend aux fonctions à valeurs complexes en travaillant avec parties réelle et imaginaire (sauf, bien sûr, les énoncés de positivité).

16.2 Continuité uniforme

Définition 16.1Continuité uniforme

$f : I \to K$ est uniformément continue sur $I$ si :

$\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x, y \in I, ∣ x - y ∣ \leq δ ⟹ ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq ε .$

La nuance avec la continuité : le $δ$ est le même pour tous les points — il ne dépend que de $ε$ , pas de l'endroit où l'on se trouve.

Exemple 16.2

Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue : si $∣ f (x) - f (y) ∣ \leq K ∣ x - y ∣$ , prendre $δ = ε / K$ (chapitre 6).
$x \mapsto x^{2}$ n'est pas uniformément continue sur $R$ : les points $x_{n} = n$ et $y_{n} = n + \frac{1}{n}$ se rapprochent, mais $y_{n}^{2} - x_{n}^{2} = 2 + \frac{1}{n ^{2}} \geq 2$ — aux grandes abscisses, la pente explose et le $δ$ devrait fondre.

◆Théorème 16.3Théorème de Heine

Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est uniformément continue sur ce segment. (La démonstration — par Bolzano-Weierstrass, chapitre 5 — n'est pas exigible.)

iRemarque

C'est la clef de voûte de la construction de l'intégrale : sur un segment, la continuité se « globalise », et l'on pourra approcher uniformément $f$ par des fonctions en escalier.

16.3 Fonctions continues par morceaux

Définition 16.4Subdivisions, fonctions en escalier

Une subdivision du segment $[a, b]$ est une suite finie $σ = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ avec $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n} = b$ ; son pas est $max_{i} (a_{i + 1} - a_{i})$ . Une fonction $φ : [a, b] \to K$ est en escalier s'il existe une subdivision telle que $φ$ soit constante sur chaque intervalle ouvert $] a_{i}, a_{i + 1} [$ (les valeurs aux points $a_{i}$ sont quelconques).

Définition 16.5Fonctions continues par morceaux

$f : [a, b] \to K$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $(a_{0}, \dots, a_{n})$ telle que, sur chaque $] a_{i}, a_{i + 1} [$ , $f$ soit continue et admette des limites finies aux deux extrémités. Les fonctions continues par morceaux sur $[a, b]$ forment un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de l'ensemble des fonctions de $[a, b]$ dans $K$ (sommes, produits et multiples de continues par morceaux le restent : raffiner les deux subdivisions).

16.4 Intégrale d'une fonction continue par morceaux

◆Théorème 16.6Définition de l'intégrale

À toute fonction $f$ continue par morceaux sur $[a, b]$ , on associe son intégrale

$\int_{[a, b]} f = \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} f (t) d t \in K,$

définie pour les fonctions en escalier par $\sum_{i} (a_{i + 1} - a_{i}) c_{i}$ (somme des aires des rectangles), puis étendue par approximation : grâce au théorème de Heine, $f$ est limite uniforme de fonctions en escalier, et leurs intégrales convergent. (Le programme n'impose aucune construction particulière.) Interprétation géométrique : pour $f$ réelle, $\int_{a}^{b} f$ est l'aire algébrique entre la courbe et l'axe — comptée positivement au-dessus, négativement en dessous.

◆Théorème 16.7Propriétés fondamentales

Pour $f, g$ continues par morceaux sur $[a, b]$ ( $a \leq b$ ) :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ ;
Positivité et croissance (cas réel) : $f \geq 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0$ ; $f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ ;
Inégalité triangulaire intégrale : $\int_{[a, b]} f \leq \int_{[a, b]} ∣ f ∣$ (vraie aussi pour $f$ à valeurs complexes) ;
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f$ .

On étend la notation au cas $b \leq a$ en posant $\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f$ : la linéarité et Chasles subsistent (mais les inégalités exigent des bornes croissantes !).

◆Théorème 16.8Fonction continue positive d'intégrale nulle

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , à valeurs dans $R^{+}$ , et si $\int_{[a, b]} f = 0$ , alors $f = 0$ .

Démonstration

Par contraposée : si $f (x_{0}) = m > 0$ en un point, la continuité fournit un petit segment $[c, d] ∋ x_{0}$ ( $c < d$ ) sur lequel $f \geq \frac{m}{2}$ . Par croissance et Chasles :

$\int_{a}^{b} f \geq \int_{c}^{d} f \geq \frac{m}{2} (d - c) > 0.$

(L'hypothèse de continuité est essentielle : une fonction nulle sauf en un point a une intégrale nulle sans être nulle.)

Proposition 16.9Parité, périodicité, valeur moyenne

Si $f$ est paire : $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$ ; si $f$ est impaire : $\int_{- a}^{a} f = 0$ .
Si $f$ est $T$ -périodique : $\int_{x}^{x + T} f$ ne dépend pas de $x$ (l'intégrale sur une période est invariante par translation).
La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ : la hauteur du rectangle de même aire.

16.5 Sommes de Riemann

◆Théorème 16.10Convergence des sommes de Riemann

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b]$ . Alors :

$\frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}) n \to + \infty \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Interprétation géométrique : la somme est l'aire des $n$ rectangles de base $\frac{b - a}{n}$ s'appuyant sur la courbe (méthode des rectangles à gauche) ; quand le pas tend vers $0$ , les rectangles épousent l'aire sous la courbe.

Démonstration (Démonstration (exigible) pour

f

lipschitzienne)

Soit $K$ une constante de Lipschitz de $f$ , et notons $x_{k} = a + k \frac{b - a}{n}$ . Sur chaque $[x_{k}, x_{k + 1}]$ :

$\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (t) d t - \frac{b - a}{n} f (x_{k}) = \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} (f (t) - f (x_{k})) d t \leq \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} K ∣ t - x_{k} ∣ d t = \frac{K}{2} (\frac{b - a}{n})^{2} .$

En sommant les $n$ morceaux (Chasles + inégalité triangulaire) :

$\int_{a}^{b} f - S_{n} \leq n \cdot \frac{K}{2} (\frac{b - a}{n})^{2} = \frac{K ( b - a ) ^{2}}{2 n} n \to \infty 0.$

ImportantRectangles contre trapèzes : la problématique de l'approximation

Pour $f$ de classe $C^{2}$ , l'erreur de la méthode des rectangles est en $O (\frac{1}{n})$ (et ne peut pas mieux faire dès que $f (a) \neq = f (b)$ ), tandis que celle des trapèzes — qui remplace chaque rectangle par le trapèze joignant les deux points de la courbe — est en $O (\frac{1}{n ^{2}})$ : doubler l'effort de calcul divise l'erreur par 2 pour les rectangles, par 4 pour les trapèzes. Même problématique qu'aux chapitres 6 et 11 : à coût égal, l'ordre de la méthode fait toute la différence (l'exercice 9 chiffre le phénomène).

16.6 Lien entre intégrale et primitives

◆Théorème 16.11Le théorème fondamental de l'analyse

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

La fonction $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ et $F^{'} = f$ .
En conséquence, toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives, et pour toute primitive $G$ de $f$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = G (b) - G (a) .$

Démonstration

Fixons $x_{0} \in I$ et étudions le taux d'accroissement : par Chasles,

$\frac{F ( x ) - F ( x _{0} )}{x - x _{0}} - f (x_{0}) = \frac{1}{x - x _{0}} \int_{x_{0}}^{x} (f (t) - f (x_{0})) d t .$

Soit $ε > 0$ : par continuité de $f$ en $x_{0}$ , il existe $δ$ tel que $∣ f (t) - f (x_{0}) ∣ \leq ε$ pour $∣ t - x_{0} ∣ \leq δ$ ; l'inégalité triangulaire intégrale majore alors le membre de droite par $ε$ . Donc $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ . Le reste suit : deux primitives diffèrent d'une constante (chapitre 6), d'où la formule $G (b) - G (a)$ .

iRemarque

Ce théorème justifie a posteriori tout le chapitre 4 : primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable y reposaient. Il relie les deux visages de l'intégrale : aire (définition de ce chapitre) et antidérivée (pratique du chapitre 4).

16.7 Formules de Taylor globales

◆Théorème 16.12Formule de Taylor avec reste intégral

Si $f$ est de classe $C^{n + 1}$ sur un intervalle contenant $a$ et $x$ :

$f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + reste int e ˊ gral (exact !) \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t .$

Démonstration (Principe (récurrence sur

n

))

Pour $n = 0$ : $f (x) = f (a) + \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t$ , c'est le théorème fondamental. Pour passer de $n - 1$ à $n$ : une intégration par parties du reste,

$\int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f^{(n)} (t) d t = [- \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n)} (t)]_{a}^{x} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t,$

fait sortir le terme $\frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}$ et monte le reste d'un cran.

◆Théorème 16.13Inégalité de Taylor-Lagrange

Si de plus $f^{(n + 1)} \leq M_{n + 1}$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$ :

$f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} \leq M_{n + 1} \frac{∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .$

(L'égalité de Taylor-Lagrange est hors programme.)

ImportantLocal contre global

Ne pas confondre les deux familles de formules de Taylor :

Taylor-Young (chapitre 11) est locale : $f (x) = \sum \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + o ((x - a)^{n})$ ne dit quelque chose que pour $x \to a$ — parfaite pour les limites et les développements limités, muette sur la taille de l'erreur en un $x$ donné.
Taylor reste intégral / inégalité de Taylor-Lagrange sont globales : elles majorent l'erreur en tout point — indispensables pour approcher ( $e \approx \sum \frac{1}{k !}$ à $1 0^{- p}$ près), prouver des convergences, contrôler des algorithmes.

Exemple 16.14

Pour $f = sin$ ( $f^{(5)} \leq 1$ ) et $a = 0$ : $sin x - (x - \frac{x ^{3}}{6}) \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{120}$ . En $x = 0, 1$ : erreur $\leq 8, 3 \times 1 0^{- 8}$ — l'approximation polynomiale est certifiée, pas seulement asymptotique.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>16.8 Exercices résolus

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Exercice 1 : Uniformément continue ou pas ?

Montrer que $x \mapsto x$ est uniformément continue sur $[0, + \infty [$ , mais que $x \mapsto x^{2}$ ne l'est pas sur $R$ .

Démonstration (Solution)

Racine : pour $0 \leq y \leq x$ , on a $(x - y)^{2} \leq (x - y) (x + y) = x - y$ , d'où

$x - y \leq ∣ x - y ∣ :$

prendre $δ = ε^{2}$ convient pour tous $x, y$ — uniformément continue (alors qu'elle n'est pas lipschitzienne près de $0$ : la pente $\frac{1}{2 x}$ explose ; lipschitzien est strictement plus fort).

Carré : avec $x_{n} = n$ , $y_{n} = n + \frac{1}{n}$ : $∣ x_{n} - y_{n} ∣ = \frac{1}{n} \to 0$ mais $x_{n}^{2} - y_{n}^{2} = 2 + \frac{1}{n ^{2}} \geq 2$ : aucun $δ$ ne peut convenir pour $ε = 1$ .

Exercice 2 : Parité et périodicité

Calculer $\int_{- π}^{π} x^{3} cos x d x$ et $\int_{0}^{2 π} sin^{2} t d t$ .

Démonstration (Solution)

$x \mapsto x^{3} cos x$ est impaire (impaire $\times$ paire) et le segment $[- π, π]$ est centré en $0$ : l'intégrale est nulle — zéro calcul.

Pour la seconde, on linéarise (chapitre 2) : $sin^{2} t = \frac{1 - c o s 2 t}{2}$ , et $cos 2 t$ est $π$ -périodique d'intégrale nulle sur $[0, 2 π]$ (deux périodes complètes) :

$\int_{0}^{2 π} sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \times 2 π - 0 = π .$

Exercice 3 : Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne de $sin$ sur $[0, π]$ , et interpréter géométriquement.

Démonstration (Solution)

$μ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin t d t = \frac{1}{π} [- cos t]_{0}^{π} = \frac{2}{π} \approx 0, 637.$

Le rectangle de base $[0, π]$ et de hauteur $\frac{2}{π}$ a exactement la même aire ( $= 2$ ) que l'arche de sinusoïde : la moyenne « rabote les bosses pour boucher les creux ». (En électricité, c'est la valeur moyenne d'un courant redressé.)

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Exercice 4 : Intégrale nulle d'une fonction positive

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ , à valeurs réelles, telle que $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ . Montrer que $f = 0$ . Le résultat subsiste-t-il si $f$ est seulement continue par morceaux ?

Démonstration (Solution)

$f^{2}$ est continue et positive, d'intégrale nulle : par le théorème du cours, $f^{2} = 0$ , donc $f = 0$ .

Pour une fonction seulement continue par morceaux, c'est faux : la fonction nulle partout sauf en un point (où elle vaut $1$ ) est en escalier, de carré d'intégrale nulle, sans être nulle. (Cette propriété — $\int f^{2} = 0 \Rightarrow f = 0$ sur les fonctions continues — est exactement ce qui fera de $(f, g) \mapsto \int f g$ un produit scalaire au chapitre sur les espaces préhilbertiens.)

Exercice 5 : Sommes de Riemann classiques

Déterminer les limites de $u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n + k}$ et $v_{n} = k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$ .

Démonstration (Solution)

On fait apparaître $\frac{1}{n} \sum f (\frac{k}{n})$ :

$u_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} n \to \infty \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = ln 2,$

$v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}} n \to \infty \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = Arctan 1 = \frac{π}{4} .$

(Les sommes de Riemann à droite convergent vers la même intégrale ; on retrouve $u_{n} \to ln 2$ , déjà rencontré au chapitre 5 par les suites adjacentes — deux méthodes, une limite.)

Exercice 6 : Une suite d'intégrales

Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ . Montrer que $I_{n} \to 0$ , établir une relation entre $I_{n + 1}$ et $I_{n}$ , et en déduire un équivalent de $I_{n}$ .

Démonstration (Solution)

Limite : $0 \leq I_{n} \leq e \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{e}{n + 1} \to 0$ (croissance de l'intégrale).

Relation : par intégration par parties ( $u = e^{x}$ , $v^{'} = x^{n}$ ) :

$I_{n} = [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} e^{x}]_{0}^{1} - \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{x} d x = \frac{e - I _{n + 1}}{n + 1} .$

Équivalent : donc $(n + 1) I_{n} = e - I_{n + 1} \to e$ , soit

$I_{n} \sim \frac{e}{n} .$

(Le schéma — encadrer, relation de récurrence par IPP, passage à la limite — est celui du chapitre 11 ; l'intégration lui donne ses outils définitifs.)

Exercice 7 : Dériver une intégrale à borne variable

Justifier que $G : x \mapsto \int_{0}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t$ est dérivable sur $R$ et calculer $G^{'}$ .

Démonstration (Solution)

$t \mapsto e^{- t^{2}}$ est continue sur $R$ : elle admet une primitive $F$ (théorème fondamental), avec $F^{'} (u) = e^{- u^{2}}$ , et $G = F \circ (x \mapsto x^{2}) - F (0)$ . Par composition :

$G^{'} (x) = 2 x F^{'} (x^{2}) = 2 x e^{- x^{4}} .$

(On dérive $G$ sans connaître de formule pour $F$ — c'est toute la puissance du théorème fondamental : la primitive de $e^{- t^{2}}$ n'est pas exprimable avec les fonctions usuelles, et pourtant on calcule.)

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

Exercice 8 : Taylor-Lagrange en action

À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à $exp$ sur $[0, 1]$ , déterminer un entier $n$ tel que $k = 0 \sum n \frac{1}{k !}$ approche $e$ à $1 0^{- 6}$ près, et justifier au passage que $e = lim \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !}$ .

Démonstration (Solution)

$exp$ est $C^{\infty}$ et $exp^{(n + 1)} = e^{x} \leq e \leq 3$ sur $[0, 1]$ . L'inégalité de Taylor-Lagrange en $a = 0$ , $x = 1$ :

$e - k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \leq \frac{3}{( n + 1 )!} .$

Le majorant tend vers $0$ : la somme converge vers $e$ (croissances comparées, chapitre 11). Pour $1 0^{- 6}$ : $\frac{3}{( n + 1 )!} \leq 1 0^{- 6} ⟺ (n + 1)! \geq 3 \times 1 0^{6}$ ; or $9! = 362880$ et $10! = 3628800 \geq 3 \times 1 0^{6}$ : $n = 9$ suffit. Neuf termes pour six décimales : la convergence factorielle est foudroyante — et certifiée, ce que Taylor-Young (local !) n'aurait jamais permis d'affirmer.

Exercice 9 : Rectangles contre trapèzes, chiffrés

On approche $I = \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ avec $n = 4$ subdivisions. Comparer les erreurs de la méthode des rectangles (à gauche) et de la méthode des trapèzes, puis expliquer le phénomène.

Démonstration (Solution)

Les nœuds sont $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1$ , et $f (x) = x^{2}$ y vaut $0, \frac{1}{16}, \frac{4}{16}, \frac{9}{16}, 1$ .

Rectangles : $R_{4} = \frac{1}{4} (0 + \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16}) = \frac{14}{64} = 0, 21875$ , erreur $\approx 0, 1146$ .

Trapèzes : $T_{4} = \frac{1}{4} (\frac{0 + 1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16}) = \frac{14}{64} + \frac{1}{8} = 0, 34375$ , erreur $\approx 0, 0104$ — onze fois mieux pour le même nombre d'évaluations.

Explication : l'erreur des rectangles vaut ici essentiellement $\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{2 n} (b - a) = \frac{1}{8} = 0, 125$ : elle décroît en $\frac{1}{n}$ . Celle des trapèzes vaut $- \frac{( b - a ) ^{3}}{12 n ^{2}} f^{''}$ (constante ici) $= - \frac{2}{12 \times 16} = - \frac{1}{96} \approx - 0, 0104$ … aux signes et constantes près, elle décroît en $\frac{1}{n ^{2}}$ : doubler $n$ divise l'une par $2$ , l'autre par $4$ . À budget de calcul fixé, l'ordre de la méthode est décisif — c'est la leçon des vitesses de convergence (chapitres 6 et 11), et la porte d'entrée de l'analyse numérique.

Exercice 10 : Le théorème de la moyenne

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ (réelle). Montrer qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t = f (c),$

puis en déduire que pour $f$ continue en $x_{0}$ : $\frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (t) d t h \to 0 f (x_{0})$ .

Démonstration (Solution)

$f$ est continue sur un segment : elle atteint ses bornes $m$ et $M$ (chapitre 6). Par croissance de l'intégrale :

$m \leq μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f \leq M .$

La valeur moyenne $μ$ est comprise entre deux valeurs atteintes par $f$ : le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c$ avec $f (c) = μ$ .

Pour la seconde partie : $\frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f = f (c_{h})$ avec $c_{h}$ entre $x_{0}$ et $x_{0} + h$ ; quand $h \to 0$ , $c_{h} \to x_{0}$ et la continuité donne $f (c_{h}) \to f (x_{0})$ . (C'est une relecture de la démonstration du théorème fondamental : la dérivée de l'aire, c'est la hauteur.)

Synthèse du chapitre (à retenir)

Continuité uniforme : le $δ$ ne dépend pas du point ; lipschitzienne $\Rightarrow$ uniformément continue ( $x^{2}$ sur $R$ : contre-exemple) ; théorème de Heine : continue sur un segment $\Rightarrow$ uniformément continue (sert uniquement à construire l'intégrale).
Subdivisions, pas ; fonctions en escalier ; continues par morceaux (continuité sur les intervalles ouverts $+$ limites finies aux bords) : sous-espace vectoriel et sous-anneau.
Intégrale : aires de rectangles pour les escaliers, extension par approximation uniforme (Heine) ; aire algébrique ; linéarité, positivité, croissance ; $\int f \leq \int ∣ f ∣$ ; Chasles ; convention $\int_{a}^{b} = - \int_{b}^{a}$ (inégalités : bornes croissantes !) ; continue $\geq 0$ d'intégrale nulle $\Rightarrow$ nulle (faux sans continuité) ; paire/impaire sur $[- a, a]$ , périodique sur une période ; valeur moyenne $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ .
Sommes de Riemann : $\frac{b - a}{n} \sum f (a + k \frac{b - a}{n}) \to \int_{a}^{b} f$ ; démonstration exigible pour $f$ lipschitzienne (erreur $\leq \frac{K ( b - a ) ^{2}}{2 n}$ ) ; usage : limites de sommes ( $\sum \frac{1}{n + k} \to ln 2$ ) ; rectangles $O (\frac{1}{n})$ contre trapèzes $O (\frac{1}{n ^{2}})$ .
Théorème fondamental : $f$ continue $\Rightarrow x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est $C^{1}$ de dérivée $f$ ; toute fonction continue a des primitives ; $\int_{a}^{b} f = G (b) - G (a)$ ; dériver $\int_{u (x)}^{v (x)} f$ par composition.
Taylor globales : reste intégral $\int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)}$ (exact, démontré par IPP) ; inégalité de Taylor-Lagrange $\leq M_{n + 1} \frac{∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ (l'égalité est hors programme) ; local (Taylor-Young) vs global (reste contrôlé partout) — approcher $e$ à $1 0^{- 6}$ : $n = 9$ .

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Intégration

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>16.1 Introduction et motivation

16.2 Continuité uniforme

16.3 Fonctions continues par morceaux

16.4 Intégrale d'une fonction continue par morceaux

16.5 Sommes de Riemann

16.6 Lien entre intégrale et primitives

16.7 Formules de Taylor globales

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>16.8 Exercices résolus

Niveau ⋆ (Application directe du cours)

Niveau ⋆⋆ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau ⋆⋆⋆ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)