Séries numériques et familles sommables

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 17 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La série géométrique 1/2 + 1/4 + 1/8 + … remplit peu à peu un carré d'aire 1.

17.1 Introduction et motivation

Que vaut $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ ? Et $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ ? Donner un sens à une somme infinie : tel est l'objet des séries, qui prolongent l'étude des suites (chapitre 5) et offrent un terrain d'application royal à l'analyse asymptotique (chapitre 11). Les objectifs majeurs portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue ; l'étude des séries semi-convergentes se limite aux exemples fournis par le théorème des séries alternées.

Dans un deuxième temps, les familles sommables prolongent les calculs de sommes finies du début d'année (chapitre 2) : un cadre où l'on peut sommer « en vrac » une famille infinie — sans ordre privilégié — avec un grand confort de calcul (paquets, Fubini, produits). Pour une famille positive, le calcul dans $[0, + \infty]$ se suffit à lui-même et contient l'étude de la sommabilité ; pour une famille quelconque, on commence par un calcul formel, justifié dans un second temps. On se concentre sur la pratique, qui jouera un rôle important en deuxième année.

17.2 Convergence et divergence

Définition 17.1Série, somme

À une suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ de nombres complexes, on associe la suite de ses sommes partielles $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ . La série $\sum u_{n}$ converge si $(S_{N})$ converge ; sa limite est alors la somme, notée $n = 0 \sum + \infty u_{n}$ . Sinon, la série diverge. La somme est linéaire : $\sum (λ u_{n} + v_{n}) = λ \sum u_{n} + \sum v_{n}$ (séries convergentes).

Proposition 17.2Condition nécessaire et divergence grossière

Si $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} \to 0$ (car $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ). La réciproque est fausse (série harmonique !). Si $u_{n} \neq \to 0$ , la série diverge grossièrement.

Définition 17.3Reste

Si $\sum u_{n}$ converge, son reste d'ordre $N$ est $R_{N} = n = N + 1 \sum + \infty u_{n} = S - S_{N}$ : il tend vers $0$ , et mesure l'erreur d'approximation de la somme par la somme partielle.

◆Théorème 17.4Lien suite-série

La suite $(u_{n})$ et la série télescopique $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ sont de même nature (les sommes partielles de la série valent $u_{N + 1} - u_{0}$ ). Étudier une suite, c'est étudier une série, et réciproquement : les deux théories n'en font qu'une.

◆Théorème 17.5Séries géométriques et exponentielle

La série géométrique $\sum q^{n}$ ( $q \in C$ ) converge si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ , et alors

$n = 0 \sum + \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}$

(sommes partielles $\frac{1 - q ^{N + 1}}{1 - q}$ , chapitre 2 ; divergence grossière si $∣ q ∣ \geq 1$ ).

Pour tout $z \in C$ :

$e^{z} = n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !}$

(pour $z$ réel, c'est l'inégalité de Taylor-Lagrange du chapitre 16, avec un reste $\leq \frac{∣ z ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} e^{∣ z ∣} \to 0$ ; le cas complexe s'y ramène — et la convergence absolue, plus bas, garantit que tout est licite).

17.3 Séries à termes positifs ou nuls

◆Théorème 17.6Le principe fondamental

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée (la suite $(S_{N})$ est croissante : théorème de la limite monotone, chapitre 5). Sinon, $S_{N} \to + \infty$ .

◆Théorème 17.7Comparaison et équivalents

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ positives.

Comparaison : si $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ , la convergence de $\sum v_{n}$ implique celle de $\sum u_{n}$ (et la divergence de $\sum u_{n}$ celle de $\sum v_{n}$ ).
Équivalents : si $u_{n} \sim v_{n}$ , les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Démonstration (Démonstration pour les équivalents)

Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $\frac{u _{n}}{v _{n}} \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ à partir d'un rang : $\frac{1}{2} v_{n} \leq u_{n} \leq \frac{3}{2} v_{n}$ , et la comparaison s'applique dans les deux sens (les premiers termes ne changent pas la nature).

◆Théorème 17.8Comparaison série-intégrale

Soit $f$ monotone (disons décroissante, positive) sur $[1, + \infty [$ . La méthode des rectangles (chapitre 16) encadre les sommes partielles :

$\int_{1}^{N + 1} f (t) d t \leq n = 1 \sum N f (n) \leq f (1) + \int_{1}^{N} f (t) d t .$

Applications : nature de $\sum f (n)$ et comportement asymptotique des sommes partielles (par exemple $H_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} \sim ln N$ , en encadrant par $ln (N + 1)$ et $1 + ln N$ — le chapitre 6 retrouvé).

◆Théorème 17.9Séries de Riemann

$\sum \frac{1}{n ^{α}} converge ⟺ α > 1.$

Démonstration

Comparaison avec $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}}$ : pour $α \neq = 1$ , les primitives $\frac{t ^{1 - α}}{1 - α}$ sont bornées si et seulement si $α > 1$ ; pour $α = 1$ , $H_{N} \sim ln N \to + \infty$ . Ce sont les étalons de comparaison : toute étude de série positive commence par chercher un équivalent en $\frac{1}{n ^{α}}$ (les développements limités du chapitre 11 sont l'outil).

17.4 Séries absolument convergentes

Définition 17.10Convergence absolue

La série complexe $\sum u_{n}$ est absolument convergente si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

◆Théorème 17.11Convergence absolue

\Rightarrow

convergence

Toute série numérique absolument convergente est convergente, et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ u_{n} ∣$ . (Le critère de Cauchy est hors programme : pour une série réelle, écrire $u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-}$ avec $0 \leq u_{n}^{\pm} \leq ∣ u_{n} ∣$ et comparer ; le cas complexe sépare parties réelle et imaginaire.)

◆Théorème 17.12Le critère de domination

Si $(u_{n})$ est complexe, $(v_{n})$ positive avec $u_{n} = O (v_{n})$ et $\sum v_{n}$ convergente, alors $\sum u_{n}$ est absolument convergente, donc convergente.

Exercices du chapitre

La constante d'Euler corrigé
Les séries de Bertrand corrigé
Carrés et racines d'une série convergente corrigé
Les équivalents trahissent les séries non positives corrigé
La série de Leibniz corrigé
Les paquets diagonaux corrigé

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