Séries numériques et familles sommables

Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n\to 0$ (car $u_n=S_n-S_{n-1}$). La réciproque est fausse (série harmonique !). Si $u_n\nrightarrow 0$, la série diverge grossièrement.

La suite $(u_n)$ et la série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ sont de même nature (les sommes partielles de la série valent $u_{N+1}-u_0$). Étudier une suite, c'est étudier une série, et réciproquement : les deux théories n'en font qu'une.

• La série géométrique $\sum q^n$ ($q\in \mathbb{C}$) converge si et seulement si $|q|<1$, et alors

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{q}^n=\frac{1}{1-q}$$

(sommes partielles $\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$, chapitre 2 ; divergence grossière si $|q|\ge 1$).

• Pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

$$e^z=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{z^n}{n!}$$

(pour $z$ réel, c'est l'inégalité de Taylor-Lagrange du chapitre 16, avec un reste $\le \frac{|z{|}^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{|z|}\to 0$ ; le cas complexe s'y ramène — et la convergence absolue, plus bas, garantit que tout est licite).

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée (la suite $(S_N)$ est croissante : théorème de la limite monotone, chapitre 5). Sinon, $S_N\to +\infty$.

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ positives.

• Comparaison : si $0\le u_n\le v_n$ pour tout $n$, la convergence de $\sum v_n$ implique celle de $\sum u_n$ (et la divergence de $\sum u_n$ celle de $\sum v_n$).
• Équivalents : si $u_n\sim v_n$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

Soit $f$ monotone (disons décroissante, positive) sur $[1,+\infty [$. La méthode des rectangles (chapitre 16) encadre les sommes partielles :

$${\int }_1^{N+1}f(t)\mathrm{d}t\le \sum _{n=1}^{N}f(n)\le f(1)+{\int }_1^{N}f(t)\mathrm{d}t.$$

Applications : nature de $\sum f(n)$ et comportement asymptotique des sommes partielles (par exemple $H_N={\sum }_{n=1}^N\frac{1}{n}\sim \ln N$, en encadrant par $\ln (N+1)$ et $1+\ln N$ — le chapitre 6 retrouvé).

$$\sum \frac{1}{n^{\alpha }}\text{converge}⟺\alpha >1.$$

Toute série numérique absolument convergente est convergente, et $\left|{\sum }_{n=0}^{+\infty }{u}_n\right|\le {\sum }_{n=0}^{+\infty }|u_n|$. (Le critère de Cauchy est hors programme : pour une série réelle, écrire $u_n=u_n^{+}-u_n^{-}$ avec $0\le u_n^{\pm }\le |u_n|$ et comparer ; le cas complexe sépare parties réelle et imaginaire.)

Si $(u_n)$ est complexe, $(v_n)$ positive avec $u_n=O(v_n)$ et $\sum v_n$ convergente, alors $\sum u_n$ est absolument convergente, donc convergente.

Face à $\sum u_n$ quelconque : 1) le terme tend-il vers $0$ ? (sinon, divergence grossière) ; 2) tenter la convergence absolue par comparaison/équivalent/domination avec une série de Riemann ou géométrique (en pratique : $n^2|u_n|\to 0$ suffit pour conclure) ; 3) si la série n'est pas absolument convergente, le seul outil au programme est le théorème des séries alternées.

Si la suite réelle $(u_n)$ décroît vers $0$, alors la série alternée $\sum (-1{)}^n{u}_n$ converge. De plus :

• la somme $S$ est du signe du premier terme, et $|S|\le u_0$ ;
• le reste $R_N={\sum }_{n=N+1}^{+\infty }(-1{)}^n{u}_n$ est du signe de son premier terme $(-1{)}^{N+1}{u}_{N+1}$, et

$$|R_N|\le u_{N+1}$$

— l'erreur est majorée par le premier terme négligé : un contrôle d'une simplicité remarquable.

$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2$ (chapitre 16, par Taylor-Lagrange) : convergente par le théorème (la suite $\frac{1}{n}$ décroît vers $0$) mais pas absolument (série harmonique) — une série semi-convergente. Sa convergence est fragile : elle repose sur les compensations de signes, et l'ordre des termes y est essentiel (exercice 10 !).

Pour des familles à valeurs dans $[0,+\infty ]$, tout calcul est licite sans précaution — et son résultat, fini ou non, décide de la sommabilité :

• Opérations : $\sum (u_i+v_i)=\sum u_i+\sum v_i$ et $\sum \lambda u_i=\lambda \sum u_i$ ($\lambda \ge 0$) ;
• Sommation par paquets (démonstration hors programme) : si $I$ est réunion disjointe des $(I_j{)}_{j\in J}$ :

$$\sum _{i\in I}{u}_i=\sum _{j\in J}\left(\sum _{i\in I_j}{u}_i\right);$$

• Fubini positif (cas d'un produit $I=I_1\times I_2$) : $\sum _{(i,j)}{u}_{i,j}=\sum _i\left(\sum _j{u}_{i,j}\right)=\sum _j\left(\sum _i{u}_{i,j}\right)$ — on échange toujours les sommes positives.

• Domination : si $|u_i|\le v_i$ pour tout $i$ avec $(v_i)$ sommable positive, alors $(u_i)$ est sommable.
• Sommation par paquets (démonstration hors programme) : si $I={⨆}_{j\in J}{I}_j$ et si $(u_i{)}_{i\in I}$ est sommable, alors ${\sum }_{i\in I}{u}_i={\sum }_j\left({\sum }_{i\in I_j}{u}_i\right)$.
• Fubini : cas d'un produit — pour une famille sommable doublement indexée, les deux sommes itérées sont égales.

Méthodologie : calculer formellement (paquets, échanges), puis justifier en vérifiant la sommabilité — c'est-à-dire en refaisant le même calcul sur les modules, où tout est permis (positif !).

• Si $(a_i{)}_{i\in I}$ et $(b_{i^{\prime }}{)}_{i^{\prime }\in I^{\prime }}$ sont sommables, alors ${\left(a_i{b}_{i^{\prime }}\right)}_{(i,i^{\prime })\in I\times I^{\prime }}$ est sommable et

$$\sum _{(i,i^{\prime })}{a}_i{b}_{i^{\prime }}=\left(\sum _i{a}_i\right)\left(\sum _{i^{\prime }}{b}_{i^{\prime }}\right)$$

(extension, sans démonstration, à un nombre fini de familles).

• Produit de Cauchy : si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont absolument convergentes, alors la série de terme général $c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$ est absolument convergente et

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{+\infty }{b}_n\right)$$

(c'est le produit des familles, sommé par paquets selon les diagonales $k+l=n$).

Produit de Cauchy des séries (absolument convergentes) de $e^a$ et $e^b$ :

$$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\cdot \frac{b^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}=\frac{(a+b{)}^n}{n!}\text{(binoˆme, chapitre 18 !)},$$

d'où $e^a{e}^b={\sum }_n\frac{(a+b{)}^n}{n!}=e^{a+b}$ : l'exponentielle complexe est un morphisme de $(\mathbb{C},+)$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ — la propriété admise au chapitre 3 est enfin démontrée, par le binôme du chapitre 18 et la sommabilité de ce chapitre. La boucle de l'année est bouclée.

Calculer $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{2^n}$ et $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+1)}$.

Montrer que $\sum (-1{)}^n$ diverge, puis que la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge — bien que son terme général tende vers $0$.

Déterminer la nature de : $\sum \frac{1}{n^2+n}$,   $\sum \sin \frac{1}{n}$,   $\sum \left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$.

Montrer que $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n\ln n}$ diverge, et donner un équivalent de ses sommes partielles.

Déterminer la nature de $\sum \frac{\cos n}{n^2}$ et $\sum \frac{(-1{)}^{n}n}{2^n}$.

Montrer que $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ converge mais pas absolument. Puis : combien de termes de $\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{n!}$ suffisent pour approcher sa somme ($=e^{-1}$) à $10^{-3}$ près ?

Calculer $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{n}{n!}$ et $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{n^2}{n!}$.

Montrer que $\sum _{n=2}^{+\infty }(\zeta (n)-1)=1$, où $\zeta (n)=\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k^n}$.

Pour $|z|<1$, retrouver par produit de Cauchy l'identité $\frac{1}{(1-z{)}^2}=\sum _{n=0}^{+\infty }(n+1)z^n$.

On réarrange la série harmonique alternée $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln 2$ en prenant alternativement un terme positif et deux termes négatifs :

$$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\cdots$$

Montrer que cette nouvelle série converge vers $\frac{\ln 2}{2}$. Qu'en conclure ?

• Séries : sommes partielles, convergence, somme ${\sum }_{n=0}^{+\infty }{u}_n$, linéarité ; $u_n\to 0$ nécessaire (divergence grossière), jamais suffisant (harmonique !) ; restes ; lien suite-série (télescopique) ; géométriques : $|q|<1$, somme $\frac{1}{1-q}$ ; $e^z=\sum \frac{z^n}{n!}$ ($z\in \mathbb{C}$).
• Termes positifs : converge $⟺$ sommes partielles majorées ; comparaison $0\le u_n\le v_n$ ; équivalents (même nature) ; comparaison série-intégrale ($f$ monotone, rectangles ; $H_N\sim \ln N$) ; Riemann : $\sum n^{-\alpha }$ converge $⟺\alpha >1$ (l'étalon ; chercher l'équivalent par DL).
• Convergence absolue $\Rightarrow$ convergence ; domination $u_n=O(v_n)$, $\sum v_n$ positive convergente $\Rightarrow$ ACV ; réflexe $n^2{u}_n\to 0$. Stratégie : terme $\to 0$ ? ACV par Riemann ? sinon alternée.
• Séries alternées : $(u_n)$ décroît vers $0$ $\Rightarrow \sum (-1{)}^n{u}_n$ converge (suites adjacentes) ; somme et restes du signe du premier terme, $|R_N|\le u_{N+1}$ (erreur $=$ premier terme négligé) ; semi-convergence ($\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2$).
• Familles positives : somme $=$ sup des sommes finies dans $[0,+\infty ]$, invariante par permutation ; sommable si finie ; tout calcul est licite : paquets, Fubini positif — le résultat décide de la sommabilité.
• Familles complexes : sommable $=\sum |u_i|<\infty$ (${\ell }^1(I)$ ; pour $I=\mathbb{N}$ : ACV) ; domination ; somme linéaire, invariante par permutation, approchée par des sommes finies ; paquets et Fubini sous sommabilité — méthode : calcul formel, puis justification sur les modules ; sans sommabilité, l'ordre compte (réarrangement : $\frac{\ln 2}{2}$ !).
• Produits : familles sommables $\Rightarrow$ produit sommable, somme $=$ produit des sommes ; produit de Cauchy ($c_n=\sum a_k{b}_{n-k}$, séries ACV) ; applications : $\frac{1}{(1-z{)}^2}=\sum (n+1)z^n$, et $e^a{e}^b=e^{a+b}$ — l'exponentielle-morphisme enfin démontrée (binôme + sommabilité).