Exercices corrigés — Séries numériques et familles sommables (mathématiques MPSI)

24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

B. Séries à termes positifs

• La constante d'Euler Exercice de TD
• Les séries de Bertrand Exercice de TD
• Carrés et racines d'une série convergente Exercice de TD
• Problème — Le problème de Bâle : $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ Exercice de TD
• Comparaison série-intégrale Exercice classique
• Déterminer la nature de chacune des séries… Application directe du cours
• Montrer que la série Σ_n ≥ 1 (n!)/(nⁿ) converge. Application directe du cours
• Équivalents et Riemann Application directe du cours

C. Convergence absolue et séries alternées

• Les équivalents trahissent les séries non positives Exercice de TD
• La série de Leibniz Exercice de TD
• Convergence absolue par domination Application directe du cours
• Séries alternées et contrôle du reste Application directe du cours

D. Familles sommables

• Les paquets diagonaux Exercice de TD
• Fubini positif en action Exercice de TD
• Le produit de Cauchy, et ce qu'il casse Exercice de TD
• L'ordre des termes compte Exercice de TD
• Produit de Cauchy Application directe du cours

A. Convergence, géométriques, télescopiques

• Sommes liées à l'exponentielle Exercice classique
• Calculer Σₙ₌₁^+∞ 1/(n(n+2)). On donnera d'abord une expression close… Application directe du cours
• Montrer que la série Σ_n ≥ 1 ln ( 1 + 1/n ) diverge, de deux façons… Application directe du cours
• Étudier la suite définie pour n ≥ 1 par… Application directe du cours
• La série exponentielle au travail. Le cours donne Σ_n ≥ 0 (zⁿ)/(n!) =… Application directe du cours
• Géométrique et télescopique Application directe du cours
• Divergences Application directe du cours

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