Calculer Σₙ₌₁^+∞ 1/(n(n+2)). On donnera d'abord une expression close…

Stratégie : par télescopage, après décomposition en éléments simples. Le seul point à surveiller est que le décalage vaut $2$ et non $1$.

1) Éléments simples. On cherche $a,b$ tels que $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+2}$. En multipliant par $n$ puis $n\to 0$ : $a=\frac{1}{2}$ ; en multipliant par $n+2$ puis $n\to -2$ : $b=-\frac{1}{2}$. Donc $$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$$

2) La somme partielle. Posons $v_n=\frac{1}{n}$, de sorte que le terme général vaut $\frac{1}{2}(v_n-v_{n+2})$. Alors $$S_N=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N(v_n-v_{n+2})=\frac{1}{2}\left(\sum _{n=1}^N{v}_n-\sum _{n=3}^{N+2}{v}_n\right)$$ (le second paquet est le premier décalé de deux crans). Les indices $3,\dots ,N$ sont communs et disparaissent ; il reste les deux premiers du premier paquet et les deux derniers du second : $$\boxed{S_N=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)}$$

⚠️ Le point délicat est exactement là. Avec le décalage $1$ (le cas $\frac{1}{n(n+1)}$ du cours), il survit un terme à chaque bout ; avec le décalage $2$, il en survit deux. C'est ce qui fait apparaître le $1+\frac{1}{2}$, donc la limite $\frac{3}{4}$ et non $1$. Écrire mécaniquement « il reste le premier moins le dernier » donnerait ici un résultat faux.

3) Conclusion. $\frac{1}{N+1}\to 0$ et $\frac{1}{N+2}\to 0$, donc $S_N$ converge : $$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+2)}=\frac{3}{4}$$

Contrôle pour $N=3$. À la main : $\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}=\frac{40+15+8}{120}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$. La formule : $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{4}-\frac{9}{40}=\frac{30-9}{40}=\frac{21}{40}$ ✓.

Ce que l'exercice installe : un télescopage se conduit toujours en écrivant les deux paquets d'indices et en regardant ce qui NE se simplifie pas. La méthode resservira à la diagonale des familles sommables (n° 13) et, en probabilités, aux sommes de lois.