Étudier la suite définie pour n ≥ 1 par…

Stratégie : passer au logarithme pour transformer le produit en série, puis conclure sur la série. C'est le lien suite–série pris dans le sens le plus utile.

1) Le passage au logarithme est licite. Chaque facteur $1+\frac{1}{k^2}$ est $>0$, donc $u_n>0$ et l'on peut poser $${\ell }_n=\ln u_n=\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k^2}\right)$$ La suite $(u_n)$ converge vers une limite $>0$ si et seulement si $({\ell }_n)$ converge, c'est-à-dire si et seulement si la série $\sum \ln \left(1+\frac{1}{k^2}\right)$ converge (par continuité de $\ln$ et de $\exp$).

2) La série converge. Son terme général est positif, et $$\ln \left(1+\frac{1}{k^2}\right)\sim \frac{1}{k^2}$$ Or $\sum \frac{1}{k^2}$ est une série de Riemann avec $\alpha =2>1$ : elle converge. Par le théorème des équivalents (licite, termes positifs), $\sum \ln (1+\frac{1}{k^2})$ converge. Donc ${\ell }_n\to L\in \mathbb{R}$ et $$u_n\underset{n\to +\infty }{\to }{e}^L>0$$

⚠️ Le point délicat : converger n'est pas converger vers $0$. Un produit infini peut « converger » au sens où ses facteurs tendent vers $1$ et pourtant exploser — c'est ce qui arrive à $\prod \left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1$, dont le logarithme est la série divergente du n° 2. Tout se joue sur la nature de $\sum \ln (1+a_k)$, donc sur celle de $\sum a_k$, pas sur la seule convergence des facteurs vers $1$.

3) L'encadrement. La suite $(u_n)$ est croissante (on multiplie par un facteur $>1$), donc $u_n⩾u_1=2$. Pour la majoration, l'inégalité de concavité $\ln (1+x)⩽x$ ($x⩾0$) donne $${\ell }_n⩽\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}⩽\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$ d'où $$\boxed{2⩽u_n⩽e^{{\pi }^2/6}\approx 5,18}$$ et la limite $e^L$ vit dans cet intervalle.

Contrôle numérique. $u_5=2\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{10}{9}\cdot \frac{17}{16}\cdot \frac{26}{25}=\frac{221}{72}\approx 3,069$, bien dans $[2;5,18]$. Un calcul à $2\cdot 10^5$ facteurs donne $3,67606$ — et l'on peut prouver (hors programme) que la limite exacte est $\frac{\mathrm{sh}(\pi )}{\pi }=3,676077\dots$ ✓

Ce que l'exercice installe : un produit s'étudie par son logarithme, et une suite s'étudie par la série de ses accroissements. C'est le mouvement inverse du n° 2, et il resservira tel quel pour la formule de Stirling.