La série exponentielle au travail. Le cours donne Σ_n ≥ 0 (zⁿ)/(n!) =…

Stratégie : ramener chaque somme à la série exponentielle, soit par un décalage d'indice, soit en choisissant le bon $z$. Aucune de ces séries ne se calcule « de front » : on les reconnaît.

a) $\sum _{n⩾1}\frac{n}{n!}$. Pour $n⩾1$, $\frac{n}{n!}=\frac{n}{n\cdot (n-1)!}=\frac{1}{(n-1)!}$. Le changement d'indice $m=n-1$ donne $$\sum _{n⩾1}\frac{n}{n!}=\sum _{n⩾1}\frac{1}{(n-1)!}=\sum _{m⩾0}\frac{1}{m!}=e$$

⚠️ Le décalage d'indice déplace la borne. $n$ part de $1$, donc $m=n-1$ part de $0$ : c'est ce glissement qui reconstitue exactement la série exponentielle, terme $m=0$ compris. Oublier de bouger la borne fait perdre le terme $1$ et donne $e-1$.

b) $\sum _{n⩾0}\frac{n^2}{n!}$. On ne peut pas simplifier $n^2$ d'un coup : on l'écrit dans la base qui simplifie les factorielles, $$n^2=n(n-1)+n$$ Pour $n⩾2$, $\frac{n(n-1)}{n!}=\frac{1}{(n-2)!}$ (les termes $n=0$ et $n=1$ sont nuls). Donc $$\sum _{n⩾0}\frac{n(n-1)}{n!}=\sum _{n⩾2}\frac{1}{(n-2)!}=e,\sum _{n⩾0}\frac{n}{n!}=e\text{(question a)}$$ Les deux séries convergeant, on peut les additionner : $$\sum _{n⩾0}\frac{n^2}{n!}=e+e=2e$$

c) $\sum _{n⩾0}\frac{1}{n!2^n}$. Ici rien à décaler : on lit la somme comme $\sum \frac{z^n}{n!}$ avec $z=\frac{1}{2}$ : $$\sum _{n⩾0}\frac{(1/2{)}^n}{n!}=e^{1/2}=\sqrt{e}$$

$$\boxed{\sum _{n⩾1}\frac{n}{n!}=e,\sum _{n⩾0}\frac{n^2}{n!}=2e,\sum _{n⩾0}\frac{1}{n!2^n}=\sqrt{e}}$$

Contrôle numérique (sommes partielles jusqu'à $n=12$, la convergence est foudroyante) : $2,7182818262$ contre $e=2,7182818285$ ; $5,4365636273$ contre $2e=5,4365636569$ ; $1,6487212707$ contre $\sqrt{e}=1,6487212707$ ✓.

Ce que l'exercice installe : la décomposition $n^2=n(n-1)+n$ — écrire un polynôme en $n$ dans la base des factorielles descendantes $n,n(n-1),n(n-1)(n-2),\dots$ On la retrouvera mot pour mot au chapitre 19 pour calculer $E(X^2)$, donc la variance, d'une loi binomiale.