Montrer que la série Σ_n ≥ 1 ln ( 1 + 1/n ) diverge, de deux façons…

Stratégie : deux voies indépendantes, l'une exacte (télescopage), l'autre qualitative (équivalent). La seconde est la plus rapide, mais c'est la première qui dit à quelle vitesse la série diverge.

Première voie — le télescopage. Pour $n⩾1$, $$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \frac{n+1}{n}=\ln (n+1)-\ln n$$ La somme partielle se télescope entièrement : $$S_N=\sum _{n=1}^N(\ln (n+1)-\ln n)=\ln (N+1)-\ln 1=\ln (N+1)\underset{N\to +\infty }{\to }+\infty$$ La série diverge, et l'on connaît même son allure : $S_N\sim \ln N$.

Seconde voie — l'équivalent. Le terme général est $⩾0$ (car $1+\frac{1}{n}⩾1$), et $\ln (1+u)\sim u$ en $0$ avec $u=\frac{1}{n}\to 0$ donne $$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n}$$ Deux séries à termes positifs de termes généraux équivalents sont de même nature ; la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge, donc $\sum \ln (1+\frac{1}{n})$ diverge aussi.

⚠️ L'hypothèse de positivité n'est pas décorative. Le théorème « équivalents $\Rightarrow$ même nature » est faux sans signe constant : c'est précisément l'objet du n° 11 de ce TD, où deux séries équivalentes se comportent différemment. Ici on a le droit de l'invoquer parce que $\ln (1+\frac{1}{n})>0$ pour tout $n⩾1$ — et il faut le dire.

Contrôle pour $N=3$. $\ln 2+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}=\ln \left(2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\right)=\ln 4=\ln (N+1)$ ✓. Numériquement $0,6931+0,4055+0,2877=1,3863=\ln 4$ ✓.

Ce que l'exercice installe : le lien suite–série. Une somme $\sum (a_{n+1}-a_n)$ a exactement la nature de la suite $(a_n)$ — c'est le même énoncé lu deux fois. Le n° 3 s'en servira dans l'autre sens : étudier une suite en fabriquant la série de ses accroissements.