La constante d'Euler

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de comparaison série-intégrale pour une fonction décroissante positive ; l'encadrement du chapitre 4, $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$ pour $x>-1$, avec inégalités strictes pour $x>0$ ; le développement limité $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ ; le théorème du lien suite-série ; les séries de Riemann. La stratégie est d'encadrer d'abord, puis de prouver la convergence par la série des accroissements, ce que l'encadrement seul ne sait pas faire.

a) L'encadrement. La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ est continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty [$. Pour $k\ge 1$ et $t\in [k,k+1]$, on a $f(k+1)\le f(t)\le f(k)$ ; en intégrant sur un intervalle de longueur $1$ : $$\frac{1}{k+1}\le {\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln \frac{k+1}{k}\le \frac{1}{k}(\ast )$$

Minoration. L'inégalité de droite de $(\ast )$, sommée pour $k=1,\dots ,N$, donne par la relation de Chasles ${\int }_1^{N+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}\le H_N$, c'est-à-dire $\ln (N+1)\le H_N$.

Majoration. L'inégalité de gauche de $(\ast )$, sommée pour $k=1,\dots ,N-1$, donne $\sum _{k=2}^N\frac{1}{k}\le {\int }_1^N\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln N$, donc $H_N=1+\sum _{k=2}^N\frac{1}{k}\le 1+\ln N$.

Le point délicat. On ne peut pas faire partir la seconde somme de $k=1$ : il faudrait intégrer $\frac{1}{t}$ sur $[0,1]$, ce qui n'a pas de sens. On isole le premier terme, et c'est lui seul qui produit la constante $1$.

L'équivalent. Pour $N\ge 2$, on divise par $\ln N>0$ : $\frac{\ln (N+1)}{\ln N}\le \frac{H_N}{\ln N}\le \frac{1}{\ln N}+1$. Le membre de gauche vaut $1+\frac{\ln (1+1/N)}{\ln N}\to 1$, celui de droite tend vers $1$. Par encadrement, $\frac{H_N}{\ln N}\to 1$ : $H_N\sim \ln N$.

La suite bornée. L'encadrement se relit $\ln (N+1)-\ln N\le H_N-\ln N\le 1$, et $\ln (N+1)-\ln N>0$. Donc $0<H_N-\ln N\le 1$ pour tout $N\ge 1$ : la suite est bornée. Mais bornée n'est pas convergente : rien n'interdit encore à $H_N-\ln N$ d'osciller dans $]0,1]$.

b) Les accroissements. Par définition, $$u_{n+1}-u_n=(H_{n+1}-\ln (n+1))-(H_n-\ln n)=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).$$

Le signe. L'inégalité $\ln (1+x)>\frac{x}{1+x}$ pour $x>0$, appliquée à $x=\frac{1}{n}$, donne $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)>\frac{1/n}{1+1/n}=\frac{1}{n+1}$. Donc $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. (C'est aussi l'inégalité de gauche de $(\ast )$, avec $k=n$.)

L'équivalent. Posons $x=\frac{1}{n}$, qui tend vers $0$. D'une part $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$. D'autre part $\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+1/n}=x(1-x+o(x))=x-x^2+o(x^2)$. Par différence, $$u_{n+1}-u_n=(x-x^2)-(x-\frac{x^2}{2})+o(x^2)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\text{soit}{u}_{n+1}-u_n\sim -\frac{1}{2n^2}.$$

c) La convergence, par la série des accroissements. La série $\sum (u_n-u_{n+1})$ est à termes strictement positifs d'après b), et $u_n-u_{n+1}\sim \frac{1}{2n^2}$. Deux séries à termes positifs de termes généraux équivalents sont de même nature ; $\sum \frac{1}{2n^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2>1$). Donc $\sum (u_n-u_{n+1})$ converge, et $\sum (u_{n+1}-u_n)$ aussi. Par le théorème du lien suite-série, la suite $(u_n)$ converge. On note $\gamma$ sa limite : c'est la constante d'Euler, $\gamma \approx 0,5772$.

L'encadrement de $\gamma$. Pour $n\ge 1$, on dispose de deux inégalités strictes : $u_n-u_{n+1}>0$ (b), et $u_n-u_{n+1}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, parce que $\ln (1+x)<x$ pour $x>0$. Sommons de $n$ à $M$ puis faisons tendre $M$ vers $+\infty$ : la somme télescopique $\sum _{k=n}^M(u_k-u_{k+1})=u_n-u_{M+1}$ tend vers $u_n-\gamma$, et $\sum _{k=n}^M(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{n}-\frac{1}{M+1}$ tend vers $\frac{1}{n}$. La série des différences $(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})-(u_k-u_{k+1})$ est à termes strictement positifs, donc sa somme est strictement positive. Ainsi, pour tout $n\ge 1$ : $$0<u_n-\gamma <\frac{1}{n}.$$ Avec $n=1$ : $u_1=H_1-\ln 1=1$, d'où $0<1-\gamma <1$, c'est-à-dire $0<\gamma <1$. Avec $n=2$ on fait mieux : $u_2=\frac{3}{2}-\ln 2\approx 0,807$, d'où $0,307<\gamma <0,807$. (On ignore encore aujourd'hui si $\gamma$ est rationnel.)

d) La troisième preuve de $\ln 2$. Dire que $u_n\to \gamma$, c'est écrire $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$. Alors $$H_{2n}-H_n=(\ln (2n)+\gamma +o(1))-(\ln n+\gamma +o(1))=\ln 2+o(1)\underset{n\to +\infty }{\to }\ln 2.$$ Les sommes partielles paires. Notons $S_N=\sum _{k=1}^N\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$. Dans $S_{2n}$, les termes d'indice impair sont comptés positivement, ceux d'indice pair négativement. Ajoutons et retranchons les termes pairs : $$S_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-2\sum _{j=1}^n\frac{1}{2j}=H_{2n}-\sum _{j=1}^n\frac{1}{j}=H_{2n}-H_n.$$ Donc $S_{2n}\to \ln 2$. Et $S_{2n+1}=S_{2n}+\frac{1}{2n+1}\to \ln 2$ également. Les deux sous-suites d'indices pairs et impairs, qui épuisent tous les indices, convergent vers la même limite : $S_N\to \ln 2$, c'est-à-dire $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2$. C'est la troisième démonstration de l'année, après l'inégalité de Taylor-Lagrange au chapitre 16 et les suites adjacentes au chapitre 5 — et celle-ci n'invoque même pas le théorème des séries alternées.

Ce que l'exercice installe. Le théorème du lien suite-série dans son sens fécond : pour prouver qu'une suite converge, on prouve que la série de ses accroissements converge, et un équivalent en $\frac{c}{n^2}$ suffit. On l'utilisera tel quel pour la formule de Stirling. Et l'encadrement $0<u_n-\gamma <\frac{1}{n}$ dit aussi la vitesse : $H_n$ est approché par $\ln n+\gamma$ à moins de $\frac{1}{n}$ près.