mathématiques MPSI · Chapitre 17 · Exercice de TD

La constante d'Euler

Séries numériques et familles sommables · B. Séries à termes positifs · niveau 2

Énoncé

Pour $n \geq 1$ , on note $H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ .

a) En appliquant l'encadrement de la comparaison série-intégrale à $f (t) = \frac{1}{t}$ sur $[1, + \infty [$ , établir $ln (N + 1) \leq H_{N} \leq 1 + ln N$ pour tout $N \geq 1$ . En déduire $H_{N} \sim ln N$ , et que la suite $(H_{N} - ln N)$ est bornée.

b) On pose $u_{n} = H_{n} - ln n$ . Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - ln (1 + \frac{1}{n})$ , que ce nombre est strictement négatif, et qu'il est équivalent à $- \frac{1}{2 n ^{2}}$ .

c) En déduire que la série $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ converge, puis que la suite $(u_{n})$ converge vers un réel $γ$ . Montrer que $0 < γ < 1$ .

d) Écrire $H_{n} = ln n + γ + o (1)$ et en déduire $H_{2 n} - H_{n} \to ln 2$ . En exprimant les sommes partielles d'indice pair de la série $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ à l'aide de $H_{2 n}$ et $H_{n}$ , retrouver $n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln 2$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de comparaison série-intégrale pour une fonction décroissante positive ; l'encadrement du chapitre 4, $\frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x$ pour $x > - 1$ , avec inégalités strictes pour $x > 0$ ; le développement limité $ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ ; le théorème du lien suite-série ; les séries de Riemann. La stratégie est d'encadrer d'abord, puis de prouver la convergence par la série des accroissements, ce que l'encadrement seul ne sait pas faire.

a) L'encadrement. La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{t}$ est continue, positive et décroissante sur $[1, + \infty [$ . Pour $k \geq 1$ et $t \in [k, k + 1]$ , on a $f (k + 1) \leq f (t) \leq f (k)$ ; en intégrant sur un intervalle de longueur $1$ : $\frac{1}{k + 1} \leq \int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{t} = ln \frac{k + 1}{k} \leq \frac{1}{k} (*)$

Minoration. L'inégalité de droite de $(*)$ , sommée pour $k = 1, \dots, N$ , donne par la relation de Chasles $\int_{1}^{N + 1} \frac{d t}{t} \leq H_{N}$ , c'est-à-dire $ln (N + 1) \leq H_{N}$ .

Majoration. L'inégalité de gauche de $(*)$ , sommée pour $k = 1, \dots, N - 1$ , donne $k = 2 \sum N \frac{1}{k} \leq \int_{1}^{N} \frac{d t}{t} = ln N$ , donc $H_{N} = 1 + k = 2 \sum N \frac{1}{k} \leq 1 + ln N$ .

Le point délicat. On ne peut pas faire partir la seconde somme de $k = 1$ : il faudrait intégrer $\frac{1}{t}$ sur $[0, 1]$ , ce qui n'a pas de sens. On isole le premier terme, et c'est lui seul qui produit la constante $1$ .

L'équivalent. Pour $N \geq 2$ , on divise par $ln N > 0$ : $\frac{ln ( N + 1 )}{ln N} \leq \frac{H _{N}}{ln N} \leq \frac{1}{ln N} + 1$ . Le membre de gauche vaut $1 + \frac{ln ( 1 + 1/ N )}{ln N} \to 1$ , celui de droite tend vers $1$ . Par encadrement, $\frac{H _{N}}{ln N} \to 1$ : $H_{N} \sim ln N$ .

La suite bornée. L'encadrement se relit $ln (N + 1) - ln N \leq H_{N} - ln N \leq 1$ , et $ln (N + 1) - ln N > 0$ . Donc $0 < H_{N} - ln N \leq 1$ pour tout $N \geq 1$ : la suite est bornée. Mais bornée n'est pas convergente : rien n'interdit encore à $H_{N} - ln N$ d'osciller dans $] 0, 1]$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour l'équivalent, j'ai $\frac{1}{n + 1} \sim \frac{1}{n}$ et $ln (1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$ , donc leur différence est négligeable devant $\frac{1}{n}$ . Mais ça ne me donne pas d'équivalent.

C'est normal : les termes d'ordre $\frac{1}{n}$ se compensent, et l'équivalent se lit à l'ordre suivant, qu'une somme d'équivalents ne voit pas. Avec $x = \frac{1}{n}$ , à quel ordre faut-il développer chacun des deux termes ?

Élève

À l'ordre $2$ en $x$ . Pour le logarithme, j'ai $ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ . Pour $\frac{1}{n + 1}$ , il faut d'abord l'écrire en fonction de $x$ .

Comment écris-tu $\frac{1}{n + 1}$ comme $x$ fois une expression en $1 + x$ , et quel développement usuel utilises-tu ensuite ? Et pour le signe strict, quelle inégalité du cours compare $ln (1 + x)$ à $\frac{x}{1 + x}$ pour $x > 0$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →