Déterminer la nature de chacune des séries…

Stratégie : équivalent puis comparaison à une série de Riemann. Les trois termes généraux sont de la forme $\phi \left(\frac{1}{n}\right)$ avec $\phi (u)\to 0$ : on remplace $\phi$ par son équivalent en $0$, ce qui fait apparaître la puissance de $n$ qui décide.

Préalable indispensable : le signe. Pour tout $n⩾1$ : $$e^{1/n}-1>0,\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)>0,\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n}>0\text{(car }0<\frac{1}{n}⩽1<\pi \text{)}$$ Les trois séries sont à termes strictement positifs : le théorème des équivalents s'applique.

a) $e^{1/n}-1$. De $e^u-1\sim u$ en $0$, avec $u=\frac{1}{n}\to 0$ : $$e^{1/n}-1\sim \frac{1}{n}$$ Or $\sum \frac{1}{n}$ diverge (Riemann $\alpha =1$). Donc $\sum \left(e^{1/n}-1\right)$ diverge.

b) $\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)$. De $\ln (1+u)\sim u$ en $0$, avec $u=\frac{1}{n^2}$ : $$\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\sim \frac{1}{n^2}$$ Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Riemann $\alpha =2>1$). Donc la série converge.

c) $\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n}$. De $\sin u\sim u$ en $0$ : $$\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}$$ La série converge, pour la même raison.

⚠️ Le piège que ces trois exemples désamorcent. Dans les trois cas le terme général tend vers $0$ — et pourtant l'une des séries diverge. « $u_n\to 0$ » ne dit rien sur la nature d'une série : il faut la vitesse, c'est-à-dire l'exposant $\alpha$ tel que $u_n\sim \frac{C}{n^{\alpha }}$. Ici $\alpha =1$ dans le premier cas et $\alpha =2$ dans les deux autres, et c'est le seul chiffre qui compte.

Contrôle numérique. À $N=10^4$ : ${\sum }_{n⩽N}\left(e^{1/n}-1\right)=10,866$, et la somme continue de croître comme $\ln N$ (elle vaut $15,471$ à $N=10^6$) ; ${\sum }_{n⩽N}\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1,30175$, contre $1,30185$ à $N=10^6$ : stabilisée à $10^{-4}$ près ; ${\sum }_{n⩽N}\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n}=1,47273$, contre $1,47283$ à $N=10^6$ ✓.

Ce que l'exercice installe : le réflexe « équivalent, puis Riemann », qui règle à lui seul la grande majorité des séries à termes positifs — et l'obligation d'écrire le signe AVANT d'invoquer l'équivalent.