La série de Leibniz

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème des séries alternées, avec ses encadrements du reste ; la somme d'une progression géométrique ; l'intégration terme à terme d'une somme finie (linéarité de l'intégrale, chapitre 16) ; la primitive $\mathrm{Arctan}$ de $t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$. La stratégie : écrire la somme partielle comme une intégrale exacte plus un reste qu'on majore.

a) Convergence et encadrement. La suite $\left(\frac{1}{2n+1}\right)$ est décroissante, de limite $0$ : par le théorème des séries alternées, $\sum \frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ converge. Le théorème dit aussi que $S=S_0+R_0$, où le reste $R_0$ est du signe de son premier terme $-\frac{1}{3}$ et vérifie $|R_0|\le \frac{1}{3}$. Donc $S\in \left[1-\frac{1}{3},1\right]$ : $\frac{2}{3}\le S\le 1$. La convergence n'est pas absolue : $\frac{1}{2n+1}\sim \frac{1}{2n}$, et $\sum \frac{1}{n}$ diverge — la série est semi-convergente.

b) La somme géométrique tronquée. Pour $t\in [0,1]$, la raison $-t^2$ est différente de $1$, et la formule de la somme géométrique donne $$\sum _{k=0}^N(-t^2{)}^k=\frac{1-(-t^2{)}^{N+1}}{1+t^2}=\frac{1}{1+t^2}-\frac{(-1{)}^{N+1}{t}^{2N+2}}{1+t^2}.$$ Il suffit de faire passer le second terme à gauche : c'est l'identité demandée, valable pour tout $t$ réel d'ailleurs.

c) L'intégration. Intégrons l'identité de b) sur $[0,1]$, ce qui est licite terme à terme parce que la somme est finie. À gauche, ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=[\mathrm{Arctan}t{]}_0^1=\frac{\pi }{4}$. Pour chaque $k$, ${\int }_0^1{t}^{2k}\mathrm{d}t=\frac{1}{2k+1}$. Donc $$\frac{\pi }{4}=\sum _{k=0}^N\frac{(-1{)}^k}{2k+1}+R_N,R_N=(-1{)}^{N+1}{\int }_0^1\frac{t^{2N+2}}{1+t^2}\mathrm{d}t.$$ La majoration du reste. Sur $[0,1]$, $\frac{t^{2N+2}}{1+t^2}\le t^{2N+2}$ puisque $1+t^2\ge 1$, et l'intégrande est positive. Donc $|R_N|\le {\int }_0^1{t}^{2N+2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2N+3}$, qui tend vers $0$. Les sommes partielles $S_N$ vérifient $S_N=\frac{\pi }{4}-R_N\to \frac{\pi }{4}$ : $S=\frac{\pi }{4}$. C'est la série de Leibniz, publiée en 1682, et l'on notera que l'encadrement du a), $\frac{2}{3}\le 0,785\le 1$, est bien respecté.

d) La lenteur. Pour $|R_N|\le 10^{-2}$, il suffit que $2N+3\ge 100$, soit $N\ge 49$ : cinquante termes (les indices $0$ à $49$) pour deux décimales. Pour $10^{-6}$ : $2N+3\ge 10^6$, soit $N\ge 499999$, cinq cent mille termes. Pour $\ln 2$ par $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$, le reste après $N$ termes est majoré par le premier terme négligé $\frac{1}{N+1}$ : il faut $N\ge 99$, quatre-vingt-dix-neuf termes pour deux décimales. Et sept termes de $\sum \frac{(-1{)}^n}{n!}$ donnent $e^{-1}$ à $10^{-3}$ près, parce que $\frac{1}{7!}=\frac{1}{5040}$.

D'où vient la différence. Dans les trois cas, le théorème des séries alternées majore l'erreur par le premier terme négligé — la borne est gratuite. Ce qui change, c'est la vitesse à laquelle ce terme tend vers $0$ : en $\frac{1}{n}$ pour Leibniz et pour $\ln 2$, en $\frac{1}{n!}$ pour l'exponentielle. Une série alternée dont le terme décroît comme $\frac{1}{n}$ est à la limite de la convergence : elle converge, mais aussi lentement qu'une série peut converger.

Ce que l'exercice installe. Deux idées. Sommer une série alternée en l'écrivant comme une intégrale : une somme géométrique tronquée, intégrée, avec un reste intégral qu'on majore brutalement — le même geste donne $\ln 2$ avec $\frac{1}{1+t}$. Et la conscience qu'une majoration de reste peut être excellente et inutilisable : Leibniz est une formule magnifique et une méthode de calcul de $\pi$ désastreuse.