mathématiques MPSI · Chapitre 17 · Exercice de TD

Carrés et racines d'une série convergente

Séries numériques et familles sommables · B. Séries à termes positifs · niveau 2

Énoncé

Soit $(u_{n})_{n \geq 1}$ une suite positive telle que $\sum u_{n}$ converge.

a) Montrer que $\sum u_{n}^{2}$ converge.

b) Montrer que $\sum \frac{u _{n}}{n}$ converge, de deux façons : par l'inégalité $2 ab \leq a^{2} + b^{2}$ , puis par l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux sommes partielles.

c) La réciproque de a) est-elle vraie ? La série $\sum u_{n}$ converge-t-elle nécessairement ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Uniquement le principe fondamental des séries à termes positifs — convergence si et seulement si les sommes partielles sont majorées — et la comparaison. Toute la difficulté est de produire une majoration de $u_{n}^{2}$ et de $\frac{u _{n}}{n}$ par le terme général d'une série convergente ; dans a), c'est la convergence elle-même qui la fournit, dans b), une inégalité algébrique.

a) Les carrés. Puisque $\sum u_{n}$ converge, son terme général tend vers $0$ . Par définition de la limite, avec $ε = 1$ , il existe un rang $N$ tel que $0 \leq u_{n} \leq 1$ pour tout $n \geq N$ . Pour ces $n$ , multiplions l'inégalité $u_{n} \leq 1$ par $u_{n} \geq 0$ : $u_{n}^{2} \leq u_{n}$ . La série $\sum u_{n}^{2}$ est à termes positifs et majorée, à partir du rang $N$ , par le terme général d'une série convergente : elle converge.

Le point délicat est double. L'inégalité $u_{n}^{2} \leq u_{n}$ est fausse dès que $u_{n} > 1$ : elle n'est acquise qu'à partir d'un rang, et c'est la convergence de $\sum u_{n}$ qui le garantit — non une hypothèse cachée. Cela suffit, parce que la nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes. Et multiplier une inégalité par $u_{n}$ n'est licite que parce que $u_{n} \geq 0$ : c'est là que sert la positivité.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $\sum \frac{u _{n}}{n}$ converge, de deux façons : par l'inégalité $2 ab \leq a^{2} + b^{2}$ , puis par l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux sommes partielles.

Élève

J'ai voulu comparer $\frac{u _{n}}{n}$ à $u_{n}$ comme au a), mais $u_{n}$ est plus grand que $u_{n}$ quand $u_{n}$ est petit, donc ça ne marche pas.

Exact, il faut se servir du facteur $\frac{1}{n}$ . L'inégalité $2 ab \leq a^{2} + b^{2}$ transforme un produit en somme de carrés : quel produit vois-tu dans $\frac{u _{n}}{n}$ , et quels carrés apparaissent alors ?

Élève

Avec $a = u_{n}$ et $b = \frac{1}{n}$ , le membre de droite fait apparaître $u_{n}$ et $\frac{1}{n ^{2}}$ , termes généraux de deux séries convergentes.

Que permet alors de conclure le théorème de comparaison, et quelle hypothèse sur les termes le rend applicable ? Pour la seconde voie, à quels vecteurs de $R^{N}$ appliques-tu Cauchy-Schwarz, et pourquoi la majoration doit-elle être indépendante de $N$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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