Carrés et racines d'une série convergente

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Uniquement le principe fondamental des séries à termes positifs — convergence si et seulement si les sommes partielles sont majorées — et la comparaison. Toute la difficulté est de produire une majoration de $u_n^2$ et de $\frac{\sqrt{u_n}}{n}$ par le terme général d'une série convergente ; dans a), c'est la convergence elle-même qui la fournit, dans b), une inégalité algébrique.

a) Les carrés. Puisque $\sum u_n$ converge, son terme général tend vers $0$. Par définition de la limite, avec $\epsilon =1$, il existe un rang $N$ tel que $0\le u_n\le 1$ pour tout $n\ge N$. Pour ces $n$, multiplions l'inégalité $u_n\le 1$ par $u_n\ge 0$ : $u_n^2\le u_n$. La série $\sum u_n^2$ est à termes positifs et majorée, à partir du rang $N$, par le terme général d'une série convergente : elle converge.

Le point délicat est double. L'inégalité $u_n^2\le u_n$ est fausse dès que $u_n>1$ : elle n'est acquise qu'à partir d'un rang, et c'est la convergence de $\sum u_n$ qui le garantit — non une hypothèse cachée. Cela suffit, parce que la nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes. Et multiplier une inégalité par $u_n$ n'est licite que parce que $u_n\ge 0$ : c'est là que sert la positivité.

b) Les racines, première voie. L'inégalité $(a-b{)}^2\ge 0$ s'écrit $2ab\le a^2+b^2$. Avec $a=\sqrt{u_n}$ et $b=\frac{1}{n}$ : $$\frac{\sqrt{u_n}}{n}\le \frac{1}{2}\left(u_n+\frac{1}{n^2}\right).$$ Le membre de droite est le terme général d'une série convergente, somme de $\frac{1}{2}\sum u_n$ (convergente par hypothèse) et de $\frac{1}{2}\sum \frac{1}{n^2}$ (Riemann, $\alpha =2$). La série $\sum \frac{\sqrt{u_n}}{n}$, à termes positifs et majorée, converge.

Seconde voie, par Cauchy-Schwarz. Dans ${\mathbb{R}}^N$ muni du produit scalaire usuel (chapitre 15), pour les vecteurs de coordonnées $\sqrt{u_n}$ et $\frac{1}{n}$ : $$\sum _{n=1}^N\frac{\sqrt{u_n}}{n}\le {\left(\sum _{n=1}^N{u}_n\right)}^{1/2}{\left(\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right)}^{1/2}\le {\left(\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n\right)}^{1/2}{\left(\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}\right)}^{1/2}.$$ Les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum \frac{\sqrt{u_n}}{n}$ sont majorées par une constante indépendante de $N$ : elle converge. Les deux voies sont la même idée, l'une terme à terme, l'autre globale.

c) Les deux réciproques. La réciproque de a) est fausse : avec $u_n=\frac{1}{n}$, la série $\sum u_n^2=\sum \frac{1}{n^2}$ converge, tandis que $\sum u_n$ diverge. Élever au carré fait converger ; cela ne se remonte pas. La racine seule ne suffit pas non plus : avec $u_n=\frac{1}{n^2}$, la série $\sum u_n$ converge mais $\sum \sqrt{u_n}=\sum \frac{1}{n}$ diverge. Le facteur $\frac{1}{n}$ de b) n'est pas décoratif : c'est lui qui, par Cauchy-Schwarz, apporte la série convergente $\sum \frac{1}{n^2}$ qui manque à $\sum \sqrt{u_n}$.

Ce que l'exercice installe. Deux réflexes des termes positifs : $u_n^2\le u_n$ dès que $u_n\le 1$, ce que la convergence garantit à partir d'un rang ; et $2ab\le a^2+b^2$, l'inégalité la plus rentable de l'analyse, qui sépare un produit gênant en deux termes qu'on sait traiter. On la retrouvera en probabilités, sous le nom de Cauchy-Schwarz, pour la covariance.