mathématiques MPSI · Chapitre 17 · Application directe du cours

Convergence absolue par domination

Séries numériques et familles sommables · C. Convergence absolue et séries alternées · niveau 2

Énoncé

Déterminer la nature de $\sum \frac{c o s n}{n ^{2}}$ et $\sum \frac{( - 1 ) ^{n} n}{2 ^{n}}$ .

Corrigé

$\frac{c o s n}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}$ : absolument convergente. Pour la seconde : $\frac{n ^{3}}{2 ^{n}} \to 0$ (croissances comparées) donne $\frac{n}{2 ^{n}} = O (\frac{1}{n ^{2}})$ : absolument convergente. (Le réflexe « $n^{2} u_{n} \to 0$ » règle les décroissances rapides.)

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