Fubini positif en action

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de Fubini positif : pour une famille à valeurs dans $[0,+\infty ]$ indexée par un produit, les deux sommes itérées sont égales, et égales à la somme de la famille. La somme d'une série géométrique de raison dans $]0,1[$. Le télescopage. Pour c), le théorème de Fubini du cas complexe, qui exige la sommabilité, et la méthode du cours : calculer formellement, puis justifier sur les modules.

a) La somme des $\zeta (n)-1$. Pour $n\ge 2$, $\zeta (n)-1=\sum _{k\ge 2}\frac{1}{k^n}$ : on a retiré le terme $k=1$, qui vaut $1$. La somme cherchée est donc celle de la famille $\left(\frac{1}{k^n}\right)$ indexée par $(n,k)\in \{2,3,\dots {\}}^2$, sommée d'abord en $k$ puis en $n$. Cette famille est positive : Fubini positif autorise à sommer d'abord en $n$, à $k$ fixé. Or, à $k\ge 2$ fixé, $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{k^n}$ est une série géométrique de raison $\frac{1}{k}\in ]0,1[$, de premier terme $\frac{1}{k^2}$ : $$\sum _{n\ge 2}\frac{1}{k^n}=\frac{1/k^2}{1-1/k}=\frac{1}{k^2}\cdot \frac{k}{k-1}=\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.$$ Reste à sommer en $k$ : la somme partielle $\sum _{k=2}^K\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1-\frac{1}{K}$ tend vers $1$. Donc $$\sum _{n\ge 2}(\zeta (n)-1)=\sum _{k\ge 2}\sum _{n\ge 2}\frac{1}{k^n}=\sum _{k\ge 2}\frac{1}{k(k-1)}=1.$$