Les paquets diagonaux

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La famille est positive : le théorème de sommation par paquets et le théorème de Fubini positif s'appliquent sans aucune vérification préalable, et le résultat du calcul, fini ou infini, est la réponse à la question de la sommabilité. C'est le confort du positif, et c'est tout l'exercice.

a) Le découpage selon les diagonales. Le terme ne dépend que de $m+n$ : le découpage naturel de $I=({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$ est $$I=\underset{d\ge 2}{⨆}{I}_d,I_d=\{(m,n)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2\mid m+n=d\}.$$ La réunion est disjointe, un couple n'ayant qu'une somme ; et elle recouvre $I$, tout couple ayant une somme, au moins égale à $2$. Le paquet $I_d$ est formé des couples $(1,d-1),(2,d-2),\dots ,(d-1,1)$ : on choisit $m\in \{1,\dots ,d-1\}$ et $n=d-m$ est imposé. Donc $\mathrm{card}{I}_d=d-1$. Sur $I_d$, tous les termes valent $\frac{1}{d^{\alpha }}$, et la somme du paquet est $\frac{d-1}{d^{\alpha }}$. Par sommation par paquets pour une famille positive, $$\sum _{(m,n)\in I}\frac{1}{(m+n{)}^{\alpha }}=\sum _{d\ge 2}\frac{d-1}{d^{\alpha }}\in [0,+\infty ].$$

b) La frontière est en $2$. La série $\sum \frac{d-1}{d^{\alpha }}$ est à termes positifs et $\frac{d-1}{d^{\alpha }}\sim \frac{1}{d^{\alpha -1}}$. Par le théorème des équivalents et les séries de Riemann, elle converge si et seulement si $\alpha -1>1$. La famille est sommable si et seulement si $\alpha >2$. Pour $\alpha =2$ en particulier, $\frac{d-1}{d^2}=\frac{1}{d}-\frac{1}{d^2}$ : différence d'une série divergente et d'une série convergente, la somme vaut $+\infty$, la famille $\left(\frac{1}{(m+n{)}^2}\right)$ n'est pas sommable.

Le contraste. La famille $\left(\frac{1}{m^2{n}^2}\right)$, elle, est sommable : produit de deux familles sommables, de somme $\zeta (2{)}^2$. Les deux sont pourtant « de degré $-2$ ». Mais $\frac{1}{m^2{n}^2}$ est petit dès que l'un des indices est grand, tandis que $\frac{1}{(m+n{)}^2}$ n'est petit que si la somme est grande — et la diagonale $d$ porte $d-1$ termes de taille $\frac{1}{d^2}$, ce qui pèse $\frac{1}{d}$. Le nombre de couples par diagonale a fait glisser la frontière de Riemann d'un cran, de $1$ à $2$.

c) Le cas $\alpha =3$. D'après a), la somme vaut $\sum _{d\ge 2}\frac{d-1}{d^3}=\sum _{d\ge 2}\left(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{d^3}\right)$. Les deux séries convergent ; par linéarité, $$\sum _{(m,n)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}\frac{1}{(m+n{)}^3}=(\zeta (2)-1)-(\zeta (3)-1)=\zeta (2)-\zeta (3)\approx 1,6449-1,2021=0,4429.$$

d) Le même résultat par Fubini. À $m$ fixé, la ligne $m$ de la famille vaut $L_m=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{(m+n{)}^{\alpha }}=\sum _{k\ge m+1}\frac{1}{k^{\alpha }}$. Si $\alpha \le 1$, cette série de Riemann diverge, $L_m=+\infty$, et la somme totale aussi : non sommable, en accord avec b). Si $\alpha >1$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{\alpha }}$ est décroissante positive sur $[m,+\infty [$ et la méthode des rectangles donne, pour $N>m$, $${\int }_{m+1}^{N+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\le \sum _{k=m+1}^N\frac{1}{k^{\alpha }}\le {\int }_m^N\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}.$$ Les primitives valent $\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }$, et $N^{1-\alpha }\to 0$ ; en faisant tendre $N$ vers $+\infty$ : $$\frac{(m+1{)}^{1-\alpha }}{\alpha -1}\le L_m\le \frac{m^{1-\alpha }}{\alpha -1}.$$ Donc $L_m\sim \frac{1}{(\alpha -1)m^{\alpha -1}}$, et par Fubini positif la somme totale est $\sum _{m\ge 1}{L}_m$, série à termes positifs de même nature que $\sum \frac{1}{m^{\alpha -1}}$ : finie si et seulement si $\alpha -1>1$. On retrouve $\alpha >2$, par un tout autre découpage — ligne par ligne au lieu de diagonale par diagonale.

Le point délicat. Pour $\alpha =2$, chaque ligne $L_m$ est finie (elle vaut moins de $\zeta (2)$) et pourtant la famille n'est pas sommable : une infinité de sommes finies peut avoir une somme infinie, ici parce que $L_m\sim \frac{1}{m}$. Sommable ligne par ligne ne veut pas dire sommable.

Ce que l'exercice installe. Le geste de la sommation par paquets selon la quantité dont dépend le terme — ici $m+n$ —, et la règle qui le rend licite sans précaution : la positivité. Le même découpage en diagonales est celui du produit de Cauchy de l'exercice 8, et le comptage des couples par diagonale est celui des étoiles et des barres du chapitre 18.