mathématiques MPSI · Chapitre 17 · Application directe du cours

Géométrique et télescopique

Séries numériques et familles sommables · A. Convergence, géométriques, télescopiques · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculer $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2 ^{n}}$ et $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ( n + 1 )}$ .

Corrigé

Géométrique de raison $\frac{1}{2}$ : somme $= \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$ . Pour la seconde, la décomposition $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ rend la série télescopique : $n = 1 \sum N \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1 - \frac{1}{N + 1} \to 1.$ (La somme finie du chapitre 2, enfin poussée à l'infini.)

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