Sommes liées à l'exponentielle

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 17 — Séries numériques et familles sommables · A. Convergence, géométriques, télescopiques

Énoncé

Calculer $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{n}{n !}$ et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{n ^{2}}{n !}$ .

Corrigé

Tout se ramène à $e$ par simplification des factorielles : $n \geq 1 \sum \frac{n}{n !} = n \geq 1 \sum \frac{1}{( n - 1 )!} = e; n^{2} = n (n - 1) + n ⟹ \sum \frac{n ^{2}}{n !} = e + e = 2 e .$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.