Problème — Le problème de Bâle : $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$

Dans tout le problème, $n\ge 1$ est un entier et $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ désigne la cotangente.

1) Soit $\theta \in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$. En développant $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{2n+1}$ par la formule du binôme et en prenant la partie imaginaire, montrer que $$\sin ((2n+1)\theta )={\sin }^{2n+1}\theta \cdot P({\cot }^2\theta ),\text{ouˋ}P(X)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2k+1})X^{n-k}$$ (le coefficient binomial se lit « $2k+1$ parmi $2n+1$ ») est un polynôme de degré $n$.

2) Montrer que les $n$ réels $x_k={\cot }^2\frac{k\pi }{2n+1}$, $1\le k\le n$, sont deux à deux distincts et sont racines de $P$. En déduire, par les relations entre coefficients et racines, $$\sum _{k=1}^n{\cot }^2\frac{k\pi }{2n+1}=\frac{n(2n-1)}{3},\text{puis}\sum _{k=1}^n\frac{1}{{\sin }^2\frac{k\pi }{2n+1}}=\frac{2n(n+1)}{3}.$$

3) Montrer que pour tout $x\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$ : ${\cot }^{2}x<\frac{1}{x^2}<1+{\cot }^{2}x$.

4) Appliquer 3) aux réels ${\theta }_k=\frac{k\pi }{2n+1}$ et sommer : $\frac{n(2n-1)}{3}<\frac{(2n+1{)}^2}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}<\frac{2n(n+1)}{3}$.

5) En déduire $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{{\pi }^2}{6}$. Pourquoi savait-on la série convergente avant tout calcul ?

6) La famille ${\left(\frac{1}{n^2}\right)}_{n\ge 1}$ étant sommable, la découper en indices pairs et impairs pour obtenir $\sum _{k\ge 0}\frac{1}{(2k+1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$ ; en déduire $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}$. Pourquoi ce découpage serait-il interdit pour $\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ ?