Montrer que la série Σ_n ≥ 1 (n!)/(nⁿ) converge.

Stratégie : majorer par une série de Riemann, en lisant $\frac{n!}{n^n}$ comme un produit de fractions dont on ne garde que les plus petites.

1) Le terme général est un produit. Pour $n⩾1$, $$\frac{n!}{n^n}=\frac{1\times 2\times \cdots \times n}{\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}}}=\prod _{k=1}^n\frac{k}{n}$$

2) On majore — mais pas tous les facteurs. Chaque facteur vérifie $\frac{k}{n}⩽1$ puisque $k⩽n$. En conservant les deux premiers et en majorant tous les autres par $1$, on obtient, pour $n⩾2$ : $$\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \prod _{k=3}^n\frac{k}{n}⩽\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot 1=\frac{2}{n^2}$$

⚠️ Le point délicat : combien de facteurs garder ? Si l'on n'en garde qu'un, on obtient $\frac{n!}{n^n}⩽\frac{1}{n}$ — majoration vraie mais inutile, puisque $\sum \frac{1}{n}$ diverge : elle ne conclut rien. Il en faut deux, pas plus : c'est le minimum qui fasse franchir la barre de Riemann $\alpha =1$. Ce raisonnement — garder juste assez de facteurs — est le cœur de l'exercice.

3) Conclusion. La série $\sum \frac{n!}{n^n}$ est à termes positifs et majorée terme à terme (pour $n⩾2$) par le terme général de $\sum \frac{2}{n^2}$, série de Riemann convergente ($\alpha =2>1$). Par comparaison des séries à termes positifs, $\sum _{n⩾1}\frac{n!}{n^n}$ converge.

Contrôle numérique de la majoration. $n=2$ : $\frac{2}{4}=0,5$ et $\frac{2}{4}=0,5$ — l'inégalité est une égalité, la majoration est donc optimale à cet endroit. $n=5$ : $\frac{120}{3125}=\frac{24}{625}=0,0384⩽\frac{2}{25}=0,08$ ✓. $n=10$ : $3,63\cdot 10^{-4}⩽0,02$ ✓ — l'écart se creuse, la majoration est de plus en plus large, ce qui est sans importance : on ne cherche pas la somme, seulement la nature.

Ce que l'exercice installe : face à une factorielle, ne jamais chercher un équivalent (Stirling n'est pas au programme ici) — découper le quotient en produit et majorer facteur par facteur. Le même geste montre que $\sum \frac{a^n}{n!}$ converge pour tout $a>0$.