L'ordre des termes compte

La stratégie. On ne peut pas invoquer l'invariance de la somme par permutation : c'est précisément ce que l'exemple va mettre en défaut. On calcule donc à la main les sommes partielles du réarrangement, en les groupant par paquets de trois, et on les relie aux sommes partielles de la série d'origine.

a) La permutation. Le $k$-ième paquet de trois termes est $\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}$ : le $k$-ième terme positif de la série d'origine, d'indice $2k-1$, puis ses termes négatifs d'indices $4k-2$ et $4k$. Posons donc, pour $k\ge 1$ : $$\sigma (3k-2)=2k-1,\sigma (3k-1)=4k-2,\sigma (3k)=4k.$$ C'est une bijection de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : tout entier $n\ge 1$ est ou bien impair, $n=2k-1$, atteint par $3k-2$ et lui seul ; ou bien congru à $2$ modulo $4$, $n=4k-2$, atteint par $3k-1$ seul ; ou bien multiple de $4$, $n=4k$, atteint par $3k$ seul. Les trois cas sont exclusifs et recouvrent ${\mathbb{N}}^{\ast }$ ; chaque $n$ a un antécédent unique. Et $u_{\sigma (3k-2)}=\frac{1}{2k-1}$, $u_{\sigma (3k-1)}=-\frac{1}{4k-2}$, $u_{\sigma (3k)}=-\frac{1}{4k}$ : la série $\sum u_{\sigma (m)}$ est bien celle de l'énoncé.

b) La somme, par paquets de trois. Notons $T_M=\sum _{m=1}^M{u}_{\sigma (m)}$ et $S_N=\sum _{n=1}^N{u}_n$. Le $k$-ième paquet vaut $$\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}=\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{4k}=\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{2\cdot 2k}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right),$$ c'est-à-dire la moitié du $k$-ième paquet de deux termes de la série d'origine, $u_{2k-1}+u_{2k}$. En sommant les $n$ premiers paquets : $$T_{3n}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)=\frac{1}{2}{S}_{2n}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{\ln 2}{2}.$$ Les indices qui ne sont pas multiples de $3$. On a $T_{3n+1}=T_{3n}+\frac{1}{2n+1}$ et $T_{3n+2}=T_{3n+1}-\frac{1}{4n+2}$ ; les termes ajoutés tendent vers $0$, donc $T_{3n+1}$ et $T_{3n+2}$ tendent aussi vers $\frac{\ln 2}{2}$. Les trois sous-suites $(T_{3n})$, $(T_{3n+1})$, $(T_{3n+2})$ épuisent tous les indices et ont la même limite : pour $\epsilon >0$, chacune est à moins de $\epsilon$ de la limite à partir d'un certain rang, et le plus grand des trois rangs convient pour $(T_M)$ tout entière. La série réarrangée converge, et sa somme est $\frac{\ln 2}{2}$.

c) La conclusion. Les mêmes termes, dans un autre ordre, ont une autre somme : $\ln 2$ est devenu $\frac{\ln 2}{2}$. Le théorème du cours dit que la somme d'une famille sommable est invariante par permutation ; or la famille $\left(\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\right)$ n'est pas sommable, puisque $\sum \frac{1}{n}$ diverge. L'exemple montre que l'hypothèse de sommabilité est nécessaire : la convergence de la série harmonique alternée ne tient qu'à l'ordre des compensations entre termes positifs et négatifs, et un réarrangement qui fait attendre les termes négatifs deux fois plus longtemps déplace l'équilibre. (On peut d'ailleurs, en dosant les paquets, atteindre n'importe quel réel — c'est un théorème de Riemann, hors programme, dont cet exercice est le premier pas.)

Ce que l'exercice installe. La raison d'être de tout le vocabulaire du chapitre : c'est pour sommer « en vrac » en sécurité que le cadre exige $\sum |u_i|<+\infty$. L'invariance par permutation est un théorème, avec une hypothèse, et non une évidence — et une série semi-convergente n'est pas une somme, c'est une suite dont on a fixé l'ordre.