Séries alternées et contrôle du reste

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 17 — Séries numériques et familles sommables · C. Convergence absolue et séries alternées

Énoncé

Montrer que $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge mais pas absolument. Combien de termes de $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$ suffisent pour approcher $e^{- 1}$ à $1 0^{- 3}$ ?

Corrigé

$\frac{1}{n}$ décroît vers 0 : séries alternées, converge ; mais Riemann $α = \frac{1}{2}$ : pas absolument — semi-convergente.

Le reste est majoré par le premier terme négligé : $(N + 1)! \geq 1000 ⟺ N = 6$ suffit ( $7! = 5040$ ). Sept termes pour trois décimales — et la borne est gratuite.

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