mathématiques MPSI · Chapitre 17 · Application directe du cours

Divergences

Séries numériques et familles sommables · A. Convergence, géométriques, télescopiques · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer que $\sum (- 1)^{n}$ diverge, puis que la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge — bien que son terme général tende vers 0.

Corrigé

$(- 1)^{n} \neq \to 0$ : divergence grossière. Pour l'harmonique, les paquets dyadiques résistent : $H_{2 N} - H_{N} = n = N + 1 \sum 2 N \frac{1}{n} \geq N \cdot \frac{1}{2 N} = \frac{1}{2},$ incompatible avec la convergence. Moralité : $u_{n} \to 0$ est nécessaire, jamais suffisant.

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