Les équivalents trahissent les séries non positives

La stratégie. Ne surtout pas raisonner par équivalent — c'est l'exercice qui montre pourquoi. On développe le terme général jusqu'à isoler des morceaux dont chacun est de nature connue : un morceau alterné convergent, un morceau positif divergent, un morceau absolument convergent.

a) L'équivalence et la convergence de $\sum v_n$. Pour $n\ge 2$, $\sqrt{n}+(-1{)}^n\ge \sqrt{2}-1>0$ : le dénominateur ne s'annule pas. Et $$\frac{u_n}{v_n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}=\frac{1}{1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}\underset{n\to +\infty }{\to }1,$$ donc $u_n\sim v_n$. La série $\sum v_n=\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ est alternée et $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers $0$ : par le théorème des séries alternées, elle converge. (Pas absolument : $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ est une série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}$.)

b) Le développement, exact. Notons $\epsilon =(-1{)}^n$, de sorte que ${\epsilon }^2=1$, et $t=\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}$, de sorte que $|t|=\frac{1}{\sqrt{n}}$. Alors $u_n=\frac{\epsilon }{\sqrt{n}+\epsilon }=\frac{t}{1+t}$. Or, pour $t\ne -1$, on a l'identité $$\frac{t}{1+t}=t-t^2+\frac{t^3}{1+t},$$ qu'on vérifie en réduisant au même dénominateur : $t(1+t)-t^2(1+t)+t^3=t+t^2-t^2-t^3+t^3=t$. En revenant à $n$ : $t=\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}$, $t^2=\frac{{\epsilon }^2}{n}=\frac{1}{n}$, et $w_n=\frac{t^3}{1+t}$ vérifie, pour $n\ge 4$ où $|t|\le \frac{1}{2}$ et donc $1+t\ge \frac{1}{2}$ : $$|w_n|=\frac{|t{|}^3}{1+t}\le \frac{1}{n^{3/2}}\cdot 2=\frac{2}{n^{3/2}}.$$ D'où, comme annoncé, $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n}+w_n$. C'est ${\epsilon }^2=1$ qui fait surgir un terme de signe constant, $-\frac{1}{n}$, là où tout semblait alterner.

c) La divergence. On dispose de $u_n=v_n-\frac{1}{n}+w_n$, où $\sum v_n$ converge (a), et $\sum w_n$ converge absolument, puisque $|w_n|\le \frac{2}{n^{3/2}}$ à partir du rang $4$ et que $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge (Riemann, $\frac{3}{2}>1$). Supposons par l'absurde que $\sum u_n$ converge. Alors $\frac{1}{n}=v_n+w_n-u_n$ serait le terme général d'une combinaison linéaire de trois séries convergentes, donc d'une série convergente — ce que la divergence de la série harmonique interdit. Donc $\sum u_n$ diverge.

Le comportement des sommes partielles. Sommons de $2$ à $N$ : $\sum _{n=2}^N{u}_n=\sum _{n=2}^N{v}_n+\sum _{n=2}^N{w}_n-(H_N-1)$. Les deux premières sommes ont une limite finie, et $H_N\to +\infty$ : les sommes partielles de $\sum u_n$ tendent vers $-\infty$, à la vitesse de $-\ln N$ — c'est le terme $-\frac{1}{n}$ qui gouverne tout.

L'hypothèse manquante. Le théorème « $a_n\sim b_n$ implique que $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont de même nature » suppose $a_n$ et $b_n$ positifs, au moins à partir d'un rang. Ici $u_n$ et $v_n$ changent de signe à chaque pas : l'hypothèse tombe, et la conclusion avec elle. Deux termes généraux équivalents, une série qui converge, une qui diverge.

Contrôle numérique. Les sommes partielles valent environ $-4,21$ pour $N=100$ et $-8,87$ pour $N=10^4$ : une différence de $-4,66$, de l'ordre de $-\ln 100=-4,61$.

Ce que l'exercice installe. La frontière exacte du raisonnement par équivalent. L'exercice 1 l'utilisait légitimement, sur des termes positifs ; ici la même phrase, écrite sans vérifier le signe, donnerait un résultat faux. Le remède est mécanique : pour une série de signe variable, on développe, et l'on traite chaque morceau selon sa nature. Le terme ${\epsilon }^2=1$ qu'un développement fait apparaître au second ordre est le piège classique des concours.