mathématiques MPSI · Chapitre 17 · Application directe du cours

Produit de Cauchy

Séries numériques et familles sommables · D. Familles sommables · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $∣ z ∣ < 1$ , retrouver par produit de Cauchy l'identité $\frac{1}{( 1 - z ) ^{2}} = \sum (n + 1) z^{n}$ .

Corrigé

La géométrique est ACV : son produit de Cauchy avec elle-même est licite, de terme général $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} z^{k} z^{n - k} = (n + 1) z^{n}$ . En particulier $\sum_{n \geq 1} \frac{n}{2 ^{n}} = 2$ — la série de l'exercice 5, désormais calculée.

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