Exercices corrigés — Espaces préhilbertiens réels (mathématiques MPSI)
24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Produits scalaires
- Le produit scalaire de Frobenius et l'orthogonalité des symétriques et des antisymétriques Exercice de TD
- Produit scalaire ou pas ? Exercice classique
- Montrer que ⟨ P, Q ⟩ = Σₖ₌₀ⁿ P(k) Q(k) est un produit scalaire sur… Application directe du cours
B. Cauchy-Schwarz et normes
- Cauchy-Schwarz avec les bons vecteurs auxiliaires Exercice de TD
- L'identité du parallélogramme comme test Exercice de TD
- Pour x, y non nuls, on définit l'angle θ ∈ [0, π] par cos θ = (⟨ x… Application directe du cours
- Montrer que pour tous x, y : | ‖x‖ - ‖y‖ | ≤ ‖x - y‖ (seconde… Application directe du cours
- Cauchy-Schwarz en action Application directe du cours
C. Orthogonalité et Gram-Schmidt
- Le trièdre de Fourier Exercice de TD
- L'orthogonal de l'orthogonal, et un hyperplan dont l'orthogonal est nul Exercice de TD
- Les polynômes de Legendre et la parité Exercice de TD
- Soit u un endomorphisme d'un espace euclidien tel que ‖u(x)‖ = ‖x‖… Exercice classique
- Orthonormaliser ( (1,0,1), (1,1,0), (0,1,1) ) dans ℝ³, puis comparer… Application directe du cours
- Gram-Schmidt complet Application directe du cours
- L'orthogonal d'une droite Application directe du cours
D. Bases orthonormées, projections, distances
- Lire une matrice en base orthonormée Exercice de TD
- La contraction caractérise les projections orthogonales Exercice de TD
- La droite des moindres carrés est une projection Exercice de TD
- Problème — Le déterminant de Gram, la formule de la distance et l'inégalité de Hadamard Exercice de TD
- Déterminer la projection orthogonale de x = (1, 0, 0, 1) sur le… Application directe du cours
- Distance à un hyperplan Application directe du cours
- Vérifier, normaliser Application directe du cours
- Projection sur une droite Application directe du cours
- Moindres carrés Application directe du cours